На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя развёрнутое

На рёбрах $A B$ и $B C$ треугольной пирамиды $A B C D$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $A M : M B = C N : N B = 1 : 2$ . Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $D A$ и $D C$ соответственно.

а) Докажите, что точки $P$ , $Q$ , $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $P QM$ разбивает пирамиду.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сечение PQNM

а) Точки $P$ и $Q$ — середины сторон $D A$ и $D C$ треугольника $A D C$ , поэтому $P Q$ — его средняя линия и $P Q ∥ A C$ .

Из условия $A M : M B = C N : N B = 1 : 2$ получаем

$\frac{B M}{B A} = \frac{B N}{B C} = \frac{2}{3} .$

Треугольники $B M N$ и $B A C$ имеют общий угол $B$ и пропорциональные стороны, прилежащие к нему, поэтому они подобны. Отсюда $∠ B M N = ∠ B A C$ , и это соответственные углы при прямых $M N$ , $A C$ и секущей $A B$ . Значит, $M N ∥ A C$ .

Прямые $M N$ и $P Q$ параллельны прямой $A C$ , поэтому параллельны друг другу. Через две параллельные прямые проходит плоскость, значит, точки $P$ , $Q$ , $M$ , $N$ лежат в одной плоскости. Что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

б) Сечение — трапеция $P QN M$ . Пусть $V$ — объём пирамиды $A B C D$ . Плоскость $P QM$ делит пирамиду на многогранник $A M N C QP$ , примыкающий к ребру $A C$ , и многогранник $D P QM N B$ , примыкающий к ребру $D B$ .

Плоскость $P N C$ разбивает многогранник $A M N C QP$ на четырёхугольную пирамиду $P A M N C$ с основанием $A M N C$ и треугольную пирамиду $P QN C$ с основанием $QN C$ .

Найдём объём пирамиды $P A M N C$ . Треугольники $B M N$ и $B A C$ подобны с коэффициентом $\frac{2}{3}$ , а площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

$\frac{S _{B M N}}{S _{A B C}} = (\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9} \Rightarrow S_{A M N C} = S_{A B C} - S_{B M N} = \frac{5}{9} S_{A B C} .$

Точка $P$ — середина $D A$ , а точка $A$ лежит в плоскости $A B C$ , поэтому расстояние от $P$ до плоскости $A B C$ вдвое меньше расстояния от $D$ . Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту, значит,

$V_{P A M N C} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{9} S_{A B C} \cdot \frac{1}{2} h_{D} = \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} \cdot V = \frac{5}{18} V,$

где $h_{D}$ — расстояние от $D$ до плоскости $A B C$ .

Найдём объём пирамиды $P QN C$ . Треугольники $C QN$ и $C D B$ имеют общий угол $C$ , поэтому их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол:

$\frac{S _{C QN}}{S _{C D B}} = \frac{C Q \cdot C N}{C D \cdot C B} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} .$

Точка $P$ — середина $A D$ , а $D$ лежит в плоскости $B C D$ , поэтому расстояние от $P$ до плоскости $B C D$ вдвое меньше расстояния от $A$ . Тогда

$V_{P QN C} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} \cdot V = \frac{1}{12} V .$

Складываем:

$V_{A M N C QP} = \frac{5}{18} V + \frac{1}{12} V = \frac{10}{36} V + \frac{3}{36} V = \frac{13}{36} V, V_{D P QM N B} = V - \frac{13}{36} V = \frac{23}{36} V .$

Отношение объёмов частей:

$\frac{V _{A M N C QP}}{V _{D P QM N B}} = \frac{13}{23} .$

Рисунок к решению

Ответ: б) $13 : 23$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15