В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD является прямоугольником со сторонами 5… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Параллелепипеды средняя 2024 развёрнутое

В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ основание $A B C D$ является прямоугольником со сторонами 5 и 12, диагонали которого пересекаются в точке $O .$ Плоскость, содержащая диагональ $A C$ и параллельная прямой $B_{1} D,$ пересекает ребро $B B_{1}$ в точке $K .$ Угол между плоскостями $(A B C)$ и $(A C K)$ равен $4 5^{\circ} .$

a) Докажите, что угол $K O B$ меньше $4 5^{\circ} .$

б) Найдите объём прямоугольного параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Проведём в плоскости основания $B H ⊥ A C$ . Треугольник $A B C$ прямоугольный с прямым углом $B$ , поэтому точка $H$ лежит на гипотенузе $A C$ .

Ребро $B B_{1}$ перпендикулярно плоскости основания, поэтому $B H$ — проекция наклонной $K H$ на эту плоскость. Так как $B H ⊥ A C$ , по теореме о трёх перпендикулярах $K H ⊥ A C$ . Значит, $∠ K H B$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $A B C$ и $A C K$ , и по условию

$∠ K H B = 4 5^{\circ} .$

Сравним отрезки $B H$ и $B O$ . Точка $O$ лежит на прямой $A C$ , $B H$ — перпендикуляр к ней, а $B O$ — наклонная, если $O \neq = H$ . Точка $H$ совпадала бы с $O$ только при $B D ⊥ A C$ , а диагонали прямоугольника перпендикулярны только у квадрата; здесь стороны $5$ и $12$ различны. Перпендикуляр короче наклонной, поэтому $B H < B O$ .

Треугольники $K B O$ и $K B H$ прямоугольные с прямым углом $B$ , так как $K B ⊥ (A B C)$ . По определению тангенса

$tg ∠ K O B = \frac{B K}{B O} < \frac{B K}{B H} = tg ∠ K H B = tg 4 5^{\circ} = 1.$

Оба угла острые, а на промежутке $(0; \frac{π}{2})$ тангенс возрастает, поэтому $∠ K O B < ∠ K H B = 4 5^{\circ}$ . Что и требовалось доказать.

б) По теореме Пифагора в треугольнике $A B C$ :

$A C = A B^{2} + B C^{2} = 5^{2} + 1 2^{2} = 169 = 13.$

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

$B H = \frac{A B \cdot B C}{A C} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13} .$

Треугольник $K B H$ прямоугольный с острым углом $4 5^{\circ}$ , значит, он равнобедренный:

$B K = B H = \frac{60}{13} .$

Теперь найдём, какую часть ребра $B B_{1}$ составляет $B K$ . Прямая $B_{1} D$ параллельна плоскости $A C K$ . Плоскость $B B_{1} D$ проходит через $B_{1} D$ , а с плоскостью $A C K$ имеет общие точки $K$ и $O$ (точка $O$ лежит и на $A C$ , и на $B D$ ). Значит, эти плоскости пересекаются по прямой $K O$ , и $K O ∥ B_{1} D$ .

В треугольнике $B B_{1} D$ прямая $K O$ проходит через середину $O$ стороны $B D$ параллельно $B_{1} D$ , поэтому по теореме Фалеса $K$ — середина $B B_{1}$ . Высота параллелепипеда

$B B_{1} = 2 B K = \frac{120}{13} .$

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:

$V = S_{A B C D} \cdot B B_{1} = 5 \cdot 12 \cdot \frac{120}{13} = \frac{7200}{13} .$

Ответ: б) $\frac{7200}{13}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15