В правильной четырехугольной пирамиде SABCD проведена высота SH… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2021 развёрнутое

В правильной четырехугольной пирамиде $S A B C D$ проведена высота $S H .$ Точка $K$ — середина ребра $S D,$ точка $N$ — середина ребра $C D .$ Плоскость $(A B K)$ пересекает ребро $S C$ в точке $P .$

a) Докажите, что прямая $P K$ делит отрезок $S N$ пополам.

б) Найдите расстояние от точки $P$ до плоскости $(A B S),$ если $S H = 15,$ $C D = 16.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Основание $A B C D$ — квадрат, поэтому $A B ∥ C D$ . Прямая $C D$ лежит в плоскости $S C D$ , значит, по признаку параллельности прямой и плоскости $A B ∥ (S C D)$ .

Плоскость $A B K$ проходит через $A B$ и пересекает плоскость $S C D$ по прямой $P K$ . Если прямая параллельна плоскости, то любая плоскость, проходящая через эту прямую и пересекающая данную плоскость, пересекает её по прямой, параллельной данной. Поэтому $P K ∥ A B$ , а значит, и $P K ∥ C D$ .

В треугольнике $S C D$ прямая $K P$ проходит через середину $K$ стороны $S D$ параллельно $C D$ , поэтому по теореме Фалеса $P$ — середина $S C$ , а $K P$ — средняя линия.

Пусть $K P$ пересекает $S N$ в точке $E$ . В треугольнике $S N D$ прямая $K E$ проходит через середину $K$ стороны $S D$ параллельно $N D$ , поэтому по теореме Фалеса $E$ — середина $S N$ . Значит, прямая $P K$ делит отрезок $S N$ пополам. Что и требовалось доказать.

б) Прямая $P K$ параллельна прямой $A B$ плоскости $A B S$ , поэтому $P K ∥ (A B S)$ . Все точки прямой $P K$ находятся на одном расстоянии от плоскости $A B S$ , поэтому искомое расстояние равно расстоянию от точки $E$ до этой плоскости.

Пусть $L$ — середина $A B$ . Отрезок $L N$ соединяет середины противоположных сторон квадрата, поэтому $L N ∥ A D$ и $L N ⊥ A B$ . Треугольник $S A B$ равнобедренный, его медиана $S L$ является высотой: $S L ⊥ A B$ . Прямая $A B$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $S L N$ , значит, $A B ⊥ (S L N)$ .

Точка $E$ лежит на $S N$ , то есть в плоскости $S L N$ . Проведём в этой плоскости $E F ⊥ S L$ . Прямая $E F$ лежит в плоскости $S L N$ , поэтому $E F ⊥ A B$ . Итак, $E F$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $S L$ и $A B$ плоскости $A B S$ , то есть $E F ⊥ (A B S)$ , и $E F$ — искомое расстояние.

Рассмотрим треугольник $S N L$ . Высота пирамиды $S H$ лежит в нём: центр квадрата $H$ — середина $L N$ . Получаем $N L = C D = 16$ , $N H = H L = 8$ . По теореме Пифагора в треугольнике $S H N$ :

$S N = S L = S H^{2} + N H^{2} = 1 5^{2} + 8^{2} = 289 = 17.$

Проведём высоту $N T$ треугольника $S N L$ . Отрезки $E F$ и $N T$ перпендикулярны $S L$ , значит, параллельны, и так как $E$ — середина $S N$ , отрезок $E F$ — средняя линия треугольника $S N T$ :

$E F = \frac{1}{2} N T .$

Найдём $N T$ , записав площадь треугольника $S N L$ двумя способами:

$\frac{1}{2} \cdot N L \cdot S H = \frac{1}{2} \cdot S L \cdot N T \Rightarrow N T = \frac{N L \cdot S H}{S L} = \frac{16 \cdot 15}{17} = \frac{240}{17} .$

Тогда

$E F = \frac{1}{2} \cdot \frac{240}{17} = \frac{120}{17} .$

Ответ: б) $\frac{120}{17}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15