В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 10, высота SH… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2025 развёрнутое

В правильной треугольной пирамиде $S A B C$ сторона основания $A B$ равна 10, высота $S H$ равна 15. Точка $K$ — середина бокового ребра $S A,$ а точка $N$ — середина ребра $B C .$ Плоскость, параллельная плоскости $(A B C),$ проходит через точку $K$ и пересекает рёбра $S B$ и $S C$ в точках $Q$ и $P$ соответственно.

a) Докажите, что прямая $QP$ пересекает отрезок $S N$ в его середине.

б) Найдите угол между плоскостями $(A B C)$ и $(A QP) .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Плоскость $K QP$ параллельна плоскости $A B C$ . Две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым. Плоскость $A S B$ пересекает их по прямым $K Q$ и $A B$ , поэтому $K Q ∥ A B$ .

В треугольнике $A S B$ прямая $K Q$ проходит через середину $K$ стороны $S A$ параллельно $A B$ , поэтому по теореме Фалеса $Q$ — середина $S B$ . Аналогично плоскость $A S C$ пересекает параллельные плоскости по прямым $K P ∥ A C$ , и $P$ — середина $S C$ .

Тогда $QP$ — средняя линия треугольника $B S C$ , и $QP ∥ B C$ .

Пусть прямая $QP$ пересекает отрезок $S N$ в точке $T$ . В треугольнике $S B N$ прямая $QT$ проходит через середину $Q$ стороны $S B$ параллельно $B N$ , поэтому по теореме Фалеса $T$ — середина $S N$ . Что и требовалось доказать.

б) Найдём линию пересечения плоскостей $A B C$ и $A QP$ . Точка $A$ — общая. Прямая $QP$ параллельна прямой $B C$ плоскости $A B C$ , значит, $QP ∥ (A B C)$ . Плоскость $A QP$ проходит через $QP$ и пересекает плоскость $A B C$ , поэтому линия пересечения $l$ параллельна $QP$ . Итак, $l$ проходит через $A$ и $l ∥ B C$ .

Треугольник $A B C$ правильный, поэтому медиана $A N$ является высотой: $A N ⊥ B C$ . Треугольник $B S C$ равнобедренный ( $S B = S C$ ), поэтому медиана $S N$ тоже высота: $S N ⊥ B C$ . Прямая $B C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $A S N$ , значит, $B C ⊥ (A S N)$ . Тогда и $l ⊥ (A S N)$ , так как $l ∥ B C$ .

Точка $T$ лежит на $S N$ , поэтому прямые $A T$ и $A N$ лежат в плоскости $A S N$ и перпендикулярны $l$ . Прямая $A T$ лежит в плоскости $A QP$ (так как $T \in QP$ ), а $A N$ — в плоскости $A B C$ . Значит, $∠ T A N$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями; он острый, поэтому равен искомому углу $φ$ .

Пирамида правильная, поэтому основание высоты $H$ — центр правильного треугольника $A B C$ . Он лежит на медиане $A N$ и делит её в отношении $A H : H N = 2 : 1$ . Найдём

$A N = \frac{A B 3}{2} = 53, A H = \frac{2}{3} A N = \frac{10 3}{3} .$

Пусть $O$ — точка пересечения $A T$ и $S H$ в плоскости $A S N$ . Треугольник $O A H$ прямоугольный ( $S H ⊥ A N$ ), поэтому

$tg φ = \frac{O H}{A H} .$

Найдём $O H$ по теореме Менелая для треугольника $S H N$ и прямой $A T$ (она пересекает стороны $S H$ , $N S$ и продолжение стороны $H N$ в точках $O$ , $T$ , $A$ ):

$\frac{S O}{O H} \cdot \frac{H A}{A N} \cdot \frac{N T}{T S} = 1.$

Здесь $\frac{H A}{A N} = \frac{2}{3}$ , а $\frac{N T}{T S} = 1$ , так как $T$ — середина $S N$ . Получаем

$\frac{S O}{O H} \cdot \frac{2}{3} = 1 \Rightarrow \frac{S O}{O H} = \frac{3}{2} \Rightarrow O H = \frac{2}{5} S H = \frac{2}{5} \cdot 15 = 6.$

Тогда

$tg φ = \frac{6}{\frac{10 3}{3}} = \frac{18}{10 3} = \frac{9}{5 3} = \frac{3 3}{5} .$

Проверим другим способом. Опустим из $T$ перпендикуляр $T T_{1}$ на $A N$ . Так как $T T_{1} ∥ S H$ и $T$ — середина $S N$ , точка $T_{1}$ — середина $H N$ , а $T T_{1} = \frac{1}{2} S H = \frac{15}{2}$ . Тогда $A T_{1} = A H + \frac{1}{2} H N = \frac{10 3}{3} + \frac{5 3}{6} = \frac{25 3}{6}$ и

$tg φ = \frac{T T _{1}}{A T _{1}} = \frac{15}{2} \cdot \frac{6}{25 3} = \frac{9}{5 3} = \frac{3 3}{5} .$

Ответ: б) $arctg \frac{3 3}{5}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15