ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — цилиндры

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ и $O_1$ — центры нижнего (с точками $A$ и $B$) и верхнего оснований, $O{O}_1$ — ось цилиндра. Проведём образующую $C_{1}C$, где $C$ лежит на окружности нижнего основания.

Образующие и ось цилиндра перпендикулярны плоскостям оснований, поэтому $C{C}_1\parallel O{O}_1$. Через две параллельные прямые проходит плоскость — плоскость $C{C}_1{O}_{1}O$. Отрезок $A{C}_1$ пересекает ось в некоторой точке $X$. Точки $C_1$ и $X$ лежат в плоскости $C{C}_1{O}_{1}O$, значит, в ней лежит вся прямая $A{C}_1$, в том числе точка $A$.

Плоскость $C{C}_1{O}_{1}O$ пересекает плоскость нижнего основания по прямой $CO$. Точка $A$ лежит в обеих плоскостях, поэтому $A$ лежит на прямой $CO$. Хорда $AC$ проходит через центр $O$, то есть $AC$ — диаметр нижнего основания.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому $\angle ABC=90^{\circ }$, то есть $AB\perp BC$.

Образующая $C{C}_1$ перпендикулярна плоскости нижнего основания, поэтому $BC$ — проекция наклонной $B{C}_1$ на эту плоскость. Прямая $AB$ лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции $BC$. По теореме о трёх перпендикулярах $AB\perp B{C}_1$, то есть $\angle AB{C}_1=90^{\circ }$. Что и требовалось доказать.

б) Образующие $B{B}_1$ и $C{C}_1$ равны и параллельны, поэтому $B{B}_1{C}_{1}C$ — параллелограмм. Так как $B{B}_1$ перпендикулярна плоскости основания, $B{B}_1\perp BC$, и этот параллелограмм — прямоугольник. Значит,

$$BC=B_1{C}_1=20.$$

Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $B$. По теореме Пифагора

$$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{625}=25.$$

Отрезок $AC$ — диаметр, поэтому радиус основания $R=\frac{25}{2}$. Образующая $B{B}_1$ перпендикулярна основаниям, значит, высота цилиндра $h=B{B}_1=14$.

Площадь боковой поверхности цилиндра:

$$S_{\text{бок}}=2\pi Rh=2\pi \cdot \frac{25}{2}\cdot 14=350\pi .$$

Ответ: б) $350\pi$.