В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы сложная 2023 развёрнутое

В основании прямой призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ лежит равнобедренный треугольник $A B C$ с основанием $A B .$ Точка $P$ делит ребро $A B$ в отношении $A P : P B = 1 : 3,$ а точка $Q$ — середина ребра $A_{1} C_{1} .$ Через середину $M$ ребра $B C$ провели плоскость $α,$ перпендикулярную отрезку $P Q .$

а) Докажите, что плоскость $α$ параллельна ребру $A B .$

б) Найдите отношение, в котором плоскость $α$ делит отрезок $P Q,$ считая от точки $P,$ если известно, что $A B = A A_{1},$ $A B : B C = 2 : 7.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $H$ — середина $A B$ . Треугольник $A B C$ равнобедренный с основанием $A B$ , поэтому его медиана $C H$ является и высотой: $C H ⊥ A B$ .

Так как $A P : P B = 1 : 3$ , то $A P = \frac{1}{4} A B$ , а $A H = \frac{1}{2} A B$ . Значит, $A P = P H$ , то есть $P$ — середина отрезка $A H$ .

Пусть $N$ — середина ребра $A C$ . Боковая грань $A A_{1} C_{1} C$ прямой призмы — прямоугольник, а $N$ и $Q$ — середины его противоположных сторон $A C$ и $A_{1} C_{1}$ . Отрезки $A N$ и $A_{1} Q$ равны и параллельны, поэтому $A N Q A_{1}$ — параллелограмм и $N Q ∥ A A_{1}$ , $N Q = A A_{1}$ . Призма прямая, значит, $A A_{1} ⊥ (A B C)$ , а тогда и $N Q ⊥ (A B C)$ .

В треугольнике $A H C$ точки $N$ и $P$ — середины сторон $A C$ и $A H$ , поэтому $N P$ — средняя линия и $N P ∥ C H$ . Так как $C H ⊥ A B$ , то $N P ⊥ A B$ .

Отрезок $M N$ соединяет середины сторон $B C$ и $A C$ , то есть является средней линией треугольника $A B C$ , и $M N ∥ A B$ . Следовательно, $M N ⊥ N P$ .

Так как $QN ⊥ (A B C)$ , отрезок $N P$ — проекция наклонной $QP$ на плоскость $A B C$ . Прямая $M N$ лежит в этой плоскости и перпендикулярна проекции $N P$ , поэтому по теореме о трёх перпендикулярах $M N ⊥ P Q$ .

Плоскость $α$ проходит через $M$ перпендикулярно $P Q$ . Все прямые, проходящие через точку $M$ перпендикулярно $P Q$ , лежат в этой плоскости. Прямая $M N$ проходит через $M$ и перпендикулярна $P Q$ , значит, $M N \subset α$ .

Прямая $A B$ параллельна прямой $M N$ плоскости $α$ . При этом $A B$ не лежит в $α$ : иначе $α$ содержала бы параллельные прямые $A B$ и $M N$ , то есть совпала бы с плоскостью $A B C$ , но $P Q$ не перпендикулярна плоскости $A B C$ (перпендикуляр из $Q$ к ней — это $QN$ , а $N \neq = P$ ). По признаку параллельности прямой и плоскости $A B ∥ α$ . Что и требовалось доказать.

б) Пусть $A B = 4 x$ . Тогда $A A_{1} = A B = 4 x$ , а из $A B : B C = 2 : 7$ получаем $B C = A C = 14 x$ . Отсюда

$A P = \frac{1}{4} A B = x, A N = \frac{1}{2} A C = 7 x, N Q = A A_{1} = 4 x .$

Треугольник $A N P$ прямоугольный ( $N P ⊥ A B$ ), по теореме Пифагора

$N P = A N^{2} - A P^{2} = 49 x^{2} - x^{2} = 48 x = 43 x .$

Треугольник $P N Q$ прямоугольный с прямым углом $N$ , так как $QN ⊥ (A B C)$ , а $N P$ лежит в этой плоскости.

Пусть $K$ — точка пересечения $P Q$ с плоскостью $α$ . Точки $N$ и $K$ лежат в $α$ (точка $N$ — потому что $M N \subset α$ ), значит, прямая $N K$ лежит в $α$ . Прямая $P Q$ перпендикулярна $α$ , а значит, и прямой $N K$ . Таким образом, $N K$ — высота прямоугольного треугольника $P N Q$ , проведённая из вершины прямого угла, и $K$ лежит на гипотенузе $P Q$ .

В прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на неё:

$N P^{2} = P K \cdot P Q, N Q^{2} = K Q \cdot P Q .$

Разделим одно равенство на другое:

$\frac{P K}{K Q} = \frac{N P ^{2}}{N Q ^{2}} = \frac{48 x ^{2}}{16 x ^{2}} = 3.$

Ответ: б) $3 : 1$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15