ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Построим сечение. Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон трапеции, то есть является её средней линией. Поэтому

$$MN\parallel AD\parallel BC,MN=\frac{AD+BC}{2}.$$

Пусть $MN$ пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $E$ и $F$. В треугольнике $ABC$ прямая $ME$ проходит через середину стороны $AB$ параллельно $BC$, поэтому по теореме Фалеса $E$ — середина $AC$. Точно так же в треугольнике $BCD$ прямая $NF$ проходит через середину $CD$ параллельно $BC$, значит, $F$ — середина $BD$.

Выясним, где лежат точки $E$ и $F$ относительно $O$. Так как $AD\parallel BC$, треугольники $AOD$ и $COB$ подобны по двум углам ($\angle OAD=\angle OCB$ и $\angle ODA=\angle OBC$ как накрест лежащие). Отсюда

$$\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}=\frac{AD}{BC}>1.$$

Значит, $AO>OC$, то есть $AO>\frac{1}{2}AC=AE$, и точка $E$ лежит на отрезке $AO$. Аналогично $DO>\frac{1}{2}BD=DF$, и точка $F$ лежит на отрезке $DO$.

Прямая $SO$ параллельна плоскости $\alpha$. Плоскость $ASC$ проходит через $SO$ и имеет с $\alpha$ общую точку $E$. Если прямая параллельна плоскости, то любая плоскость, проходящая через эту прямую и пересекающая данную плоскость, пересекает её по прямой, параллельной данной прямой. Поэтому $\alpha$ пересекает плоскость $ASC$ по прямой, проходящей через $E$ параллельно $SO$. В треугольнике $ASO$ эта прямая выходит из точки $E$ стороны $AO$ параллельно стороне $SO$ и пересекает сторону $AS$ в некоторой точке $P$.

Точно так же плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $BSD$ по прямой, проходящей через $F$ параллельно $SO$. В треугольнике $DSO$ она пересекает сторону $SD$ в точке $K$.

Итак, $\alpha$ пересекает рёбра $AB,$ $CD,$ $SD,$ $SA$ в точках $M,$ $N,$ $K,$ $P$. Других рёбер она не пересекает: точки $S$ и $O$ лежат по одну сторону от $\alpha$ (так как $SO\parallel \alpha$), а $O$ лежит на отрезке $EC$, то есть по ту же сторону от прямой $MN$, что и $B$ и $C$. Сечение — четырёхугольник $MNKP$, его стороны лежат в гранях $ABCD,$ $SCD,$ $SAD,$ $SAB$.

Докажем, что $PK\parallel MN$. Прямая $AD$ параллельна прямой $MN$, лежащей в $\alpha$, поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости $AD\parallel \alpha$. Плоскость $SAD$ проходит через $AD$ и пересекает $\alpha$ по прямой $PK$, значит, $PK\parallel AD$. Две прямые, параллельные третьей, параллельны, поэтому $PK\parallel MN$.

Докажем, что $PK\ne MN$. Так как $PE\parallel SO$, треугольники $APE$ и $ASO$ подобны ($\angle A$ общий, $\angle APE=\angle ASO$ как соответственные). Поэтому

$$\frac{AP}{AS}=\frac{AE}{AO}.$$

Здесь $AE=\frac{1}{2}AC$, а $AO<AC$, поэтому $\frac{AE}{AO}>\frac{1}{2}$. Тогда

$$\frac{AP}{AS}>\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{SP}{SA}=1-\frac{AP}{AS}<\frac{1}{2}.$$

Так как $PK\parallel AD$, треугольники $SPK$ и $SAD$ подобны ($\angle S$ общий, $\angle SPK=\angle SAD$ как соответственные), откуда

$$\frac{PK}{AD}=\frac{SP}{SA}<\frac{1}{2}\Rightarrow PK<\frac{1}{2}AD.$$

С другой стороны,

$$MN=\frac{AD+BC}{2}>\frac{1}{2}AD.$$

Значит, $PK<MN$. В четырёхугольнике $MNKP$ стороны $MN$ и $PK$ параллельны и не равны. Тогда стороны $MP$ и $NK$ не параллельны: иначе $MNKP$ был бы параллелограммом, а у параллелограмма противоположные стороны равны. Следовательно, $MNKP$ — трапеция с основаниями $MN$ и $PK$. Что и требовалось доказать.

б) Из подобия треугольников $AOD$ и $COB$ имеем $AO:OC=AD:BC=9:7$. Пусть $AO=9x$, $OC=7x$, тогда $AC=16x$. Точка $E$ — середина $AC$, поэтому

$$AE=8x,EO=AO-AE=x.$$

Из подобия треугольников $APE$ и $ASO$ находим отрезок $PE$:

$$\frac{PE}{SO}=\frac{AE}{AO}=\frac{8}{9}\Rightarrow PE=\frac{8}{9}\cdot 6=\frac{16}{3}.$$

Из того же подобия $\frac{AP}{AS}=\frac{8}{9}$, поэтому $\frac{SP}{SA}=\frac{1}{9}$. Из подобия треугольников $SPK$ и $SAD$:

$$\frac{PK}{AD}=\frac{SP}{SA}=\frac{1}{9}\Rightarrow PK=\frac{1}{9}\cdot 9=1.$$

Средняя линия трапеции $ABCD$:

$$MN=\frac{AD+BC}{2}=\frac{9+7}{2}=8.$$

Найдём высоту трапеции $MNKP$. Прямые $PE$ и $MN$ параллельны прямым $SO$ и $AD$ соответственно, поэтому угол между $PE$ и $MN$ равен углу между $SO$ и $AD$, то есть $90^{\circ }$. Значит, $PE\perp MN$, а так как $PK\parallel MN$, то и $PE\perp PK$. Точка $P$ лежит на основании $PK$, точка $E$ — на основании $MN$, поэтому $PE$ — высота трапеции.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

$$S_{MNKP}=\frac{MN+PK}{2}\cdot PE=\frac{8+1}{2}\cdot \frac{16}{3}=24.$$

Ответ: б) $24$.