ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Пусть $H$ — центр основания, $E$ — середина $AB$. Пирамида правильная, поэтому $SH$ — её высота, а $H$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$:

$$CH:HE=2:1,HE=\frac{1}{3}CE.$$

$MN$ — средняя линия треугольника $SAB$, поэтому $MN\parallel AB$. Медиана $SE$ этого треугольника пересекает $MN$ в точке $R$, и по теореме Фалеса (прямая $MN$ проходит через середину $SA$ параллельно $AB$) $R$ — середина $SE$.

Опустим из $R$ перпендикуляр $RT$ на плоскость основания. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна основанию и содержит точку $R$, а перпендикуляр к плоскости, проведённый через точку перпендикулярной ей плоскости, лежит в этой плоскости. Значит, $RT\subset \alpha$ и $T\in \alpha$.

Прямые $RT$ и $SH$ перпендикулярны одной плоскости, поэтому параллельны. Значит, $RT$ лежит в плоскости $SHE$, а $T$ — на прямой $HE$, по которой эта плоскость пересекает основание. В треугольнике $SHE$ прямая $RT$ проходит через середину $SE$ параллельно $SH$, поэтому по теореме Фалеса $T$ — середина $HE$:

$$TE=\frac{1}{2}HE=\frac{1}{6}CE,CT=CE-TE=\frac{5}{6}CE.$$

Точка $T$ лежит и в $\alpha$, и на $CE$, то есть плоскость $\alpha$ пересекает медиану $CE$ в точке $T$, и

$$CT:TE=5:1.$$

Что и требовалось доказать.

б) Прямая $AB$ параллельна прямой $MN$, лежащей в $\alpha$, поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости $AB\parallel \alpha$. Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от неё:

$$\rho (A;\alpha )=\rho (E;\alpha ).$$

Плоскость основания проходит через $AB\parallel \alpha$ и пересекает $\alpha$, поэтому линия пересечения $PQ$ ($P\in AC$, $Q\in BC$) проходит через $T$ параллельно $AB$.

В правильном треугольнике $ABC$ медиана $CE$ является высотой, $CE\perp AB$, поэтому $ET\perp PQ$. Кроме того, $ET\perp RT$, так как $RT$ перпендикулярна плоскости основания. Прямые $PQ$ и $RT$ пересекаются в точке $T$ и лежат в $\alpha$, значит, $ET\perp \alpha$, и $\rho (E;\alpha )=ET$.

Медиана правильного треугольника со стороной $30$:

$$CE=AB\cdot \sin 60^{\circ }=30\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3},ET=\frac{1}{6}CE=\frac{15\sqrt{3}}{6}=\frac{5\sqrt{3}}{2}.$$

Длина бокового ребра $SA=28$ в решении не понадобилась.

Ответ: б) $\frac{5\sqrt{3}}{2}$.