В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на рёбрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2025 развёрнутое

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $A A_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ соответственно. Известно, что $A_{1} M = 4 M A, A_{1} K = K B_{1} .$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $α$ перпендикулярно грани $A B B_{1} A_{1} .$

a) Докажите, что плоскость $α$ проходит через вершину $C_{1} .$

б) Найдите площадь сечения призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью $α,$ если все рёбра призмы равны 30.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Правильная призма — прямая призма с правильным треугольником в основании.

В равностороннем треугольнике $A_{1} B_{1} C_{1}$ медиана $C_{1} K$ является высотой, поэтому $C_{1} K ⊥ A_{1} B_{1}$ . Боковое ребро $A A_{1}$ перпендикулярно плоскости $A_{1} B_{1} C_{1}$ , поэтому $C_{1} K ⊥ A A_{1}$ . Прямые $A_{1} B_{1}$ и $A A_{1}$ пересекаются и лежат в плоскости $A B B_{1}$ , значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости

$C_{1} K ⊥ (A B B_{1}) .$

Воспользуемся свойством перпендикулярных плоскостей: если плоскости перпендикулярны и через точку одной из них проведена прямая, перпендикулярная другой плоскости, то эта прямая лежит в первой плоскости. Здесь $α ⊥ (A B B_{1})$ , $K \in α$ , а прямая $K C_{1}$ проходит через $K$ перпендикулярно $(A B B_{1})$ . Значит, $K C_{1} \subset α$ , и плоскость $α$ проходит через вершину $C_{1}$ . Что и требовалось доказать.

б) Плоскость $α$ проходит через точки $M$ , $K$ , $C_{1}$ , лежащие на трёх рёбрах $A_{1} A$ , $A_{1} B_{1}$ , $A_{1} C_{1}$ , выходящих из вершины $A_{1}$ . Она отсекает от призмы тетраэдр $A_{1} M K C_{1}$ , и сечение — треугольник $M K C_{1}$ .

По пункту а) $C_{1} K ⊥ (A B B_{1})$ , а прямая $M K$ лежит в этой плоскости, поэтому $C_{1} K ⊥ M K$ . Треугольник $M K C_{1}$ прямоугольный с прямым углом $K$ , и его площадь равна половине произведения катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot M K \cdot C_{1} K .$

Все рёбра равны $30$ , поэтому $A_{1} K = K B_{1} = 15$ , а из $A_{1} M = 4 M A$ получаем $A_{1} M = \frac{4}{5} \cdot 30 = 24$ , $M A = 6$ .

Треугольник $M A_{1} K$ прямоугольный ( $A A_{1} ⊥ A_{1} B_{1}$ ), по теореме Пифагора

$M K = A_{1} M^{2} + A_{1} K^{2} = 2 4^{2} + 1 5^{2} = 9 \cdot (64 + 25) = 389 .$

Из прямоугольного треугольника $C_{1} A_{1} K$ :

$C_{1} K = C_{1} A_{1}^{2} - A_{1} K^{2} = 3 0^{2} - 1 5^{2} = 675 = 153 .$

Площадь сечения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 389 \cdot 153 = \frac{45 267}{2} .$

Ответ: б) $\frac{45 267}{2}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15