В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка N лежит на ребре CD. Известно, что CN=2ND, AB=3AA₁, AD=2AA₁… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Параллелепипеды средняя 2025 развёрнутое

В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ точка $N$ лежит на ребре $C D .$ Известно, что $C N = 2 N D,$ $A B = 3 A A_{1},$ $A D = 2 A A_{1} .$ Плоскость $α$ проходит через точки $A,$ $C_{1},$ $N .$

a) Докажите, что $α$ делит ребро $A_{1} B_{1}$ в отношении $2 : 1,$ считая от вершины $A_{1} .$

б) Найдите площадь сечения плоскостью $α,$ если известно, что $A A_{1} = 1.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Обозначим $N D = x$ . Тогда

$C N = 2 x, A B = C D = 3 x, A A_{1} = x, A D = 2 x .$

Плоскость $α$ пересекает нижнее основание по прямой $A N$ . Основания параллельны, а параллельные плоскости секущая плоскость пересекает по параллельным прямым, поэтому верхнее основание $α$ пересекает по прямой, проходящей через $C_{1}$ параллельно $A N$ . Прямая $A N$ пересекает $D C$ в точке $N$ , поэтому не параллельна $D C$ , а значит, и прямой $A_{1} B_{1} ∥ D C$ . Следовательно, прямая через $C_{1}$ , параллельная $A N$ , пересекает прямую $A_{1} B_{1}$ ; обозначим точку пересечения $M$ . Тогда $M \in α$ и $C_{1} M ∥ A N$ .

Плоскость $α$ пересекает плоскость грани $A A_{1} B_{1} B$ по прямой $A M$ , а плоскость грани $D D_{1} C_{1} C$ — по прямой $N C_{1}$ . Эти грани параллельны, поэтому $A M ∥ N C_{1}$ . У четырёхугольника $A N C_{1} M$ противоположные стороны попарно параллельны, значит, это параллелограмм, и

$A N = C_{1} M, A M = N C_{1} .$

Треугольники $A A_{1} M$ и $N C C_{1}$ прямоугольные (боковые рёбра перпендикулярны основаниям), их гипотенузы $A M = N C_{1}$ и катеты $A A_{1} = C C_{1}$ равны. По гипотенузе и катету они равны, поэтому

$A_{1} M = C N = 2 x .$

Треугольники $A D N$ и $C_{1} B_{1} M$ прямоугольные, их гипотенузы $A N = C_{1} M$ и катеты $A D = C_{1} B_{1}$ равны. Значит, они равны, и

$B_{1} M = D N = x .$

Так как $A_{1} M + M B_{1} = 2 x + x = 3 x = A_{1} B_{1}$ , точка $M$ лежит на ребре $A_{1} B_{1}$ , и плоскость $α$ делит его в отношении

$A_{1} M : M B_{1} = 2 x : x = 2 : 1.$

Что и требовалось доказать.

б) При $A A_{1} = 1$ имеем $x = 1$ : $A D = 2$ , $A B = 3$ , $D N = 1$ , $C N = 2$ , $C C_{1} = 1$ . Сечение — параллелограмм $A N C_{1} M$ .

Прямоугольные треугольники $A D N$ и $N C C_{1}$ равны по двум катетам: $A D = N C = 2$ , $D N = C C_{1} = 1$ . Поэтому соседние стороны параллелограмма равны, $A N = N C_{1} = 5$ , и сечение — ромб. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

$S = \frac{1}{2} \cdot A C_{1} \cdot M N .$

Диагональ параллелепипеда:

$A C_{1}^{2} = A D^{2} + D C^{2} + C C_{1}^{2} = 4 + 9 + 1 = 14, A C_{1} = 14 .$

Найдём $M N$ . Отметим на $A_{1} B_{1}$ точку $K$ с $A_{1} K = 1$ ; это середина $A_{1} M$ . Отрезки $A_{1} K$ и $D N$ параллельны, одинаково направлены и равны $1$ , поэтому $A_{1} K N D$ — параллелограмм, и

$K N ∥ A_{1} D, K N = A_{1} D = A A_{1}^{2} + A D^{2} = 1 + 4 = 5 .$

Ребро $A_{1} B_{1}$ перпендикулярно $A_{1} D_{1}$ и $A A_{1}$ , поэтому $A_{1} B_{1} ⊥ (A A_{1} D_{1})$ и $A_{1} B_{1} ⊥ A_{1} D$ . Тогда и $K N ⊥ A_{1} B_{1}$ , то есть треугольник $M K N$ прямоугольный с прямым углом $K$ , а $K M = A_{1} M - A_{1} K = 1$ . По теореме Пифагора

$M N^{2} = K N^{2} + K M^{2} = 5 + 1 = 6, M N = 6 .$

Площадь сечения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 6 = \frac{84}{2} = \frac{2 21}{2} = 21 .$

Ответ: б) $21$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15