ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Разбор — 3 балла

а) Отрезки $AB$ и $D_1{C}_1$ параллельны и равны (оба параллельны $DC$ и равны ребру куба), поэтому $AB{C}_1{D}_1$ — параллелограмм, и

$$B{C}_1\parallel A{D}_1.$$

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, параллельными им. Значит, угол между $AC$ и $B{C}_1$ равен углу между $AC$ и $A{D}_1$, то есть $\angle D_{1}AC$.

Стороны $A{D}_1$, $AC$, $D_{1}C$ треугольника $A{D}_{1}C$ — диагонали равных квадратов (граней куба), поэтому они равны и треугольник равносторонний. Все его углы равны $60^{\circ }$, в частности $\angle D_{1}AC=60^{\circ }$. Что и требовалось доказать.

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из них до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Прямая $B{C}_1$ параллельна прямой $A{D}_1$, лежащей в плоскости $A{D}_{1}C$, и сама в этой плоскости не лежит, поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости $B{C}_1\parallel (A{D}_{1}C)$. Плоскость $A{D}_{1}C$ содержит $AC$, значит,

$$\rho (AC;B{C}_1)=\rho (C_1;(A{D}_{1}C))=d.$$

Запишем объём тетраэдра $A{D}_{1}C{C}_1$ двумя способами.

Первый способ: основание — треугольник $D_{1}C{C}_1$ в грани $DC{C}_1{D}_1$. Ребро $AD$ перпендикулярно $DC$ и $D{D}_1$, поэтому $AD\perp (DC{C}_1)$, и высота тетраэдра равна $AD=6$. Треугольник $D_{1}C{C}_1$ прямоугольный с катетами $6$ и $6$:

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{D_{1}C{C}_1}\cdot AD=\frac{1}{3}\cdot \frac{6\cdot 6}{2}\cdot 6=36.$$

Второй способ: основание — треугольник $A{D}_{1}C$, высота — $d$. Это равносторонний треугольник со стороной $AC=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$, его площадь по формуле $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$:

$$S_{A{D}_{1}C}=\frac{(6\sqrt{2}{)}^2\sqrt{3}}{4}=18\sqrt{3},V=\frac{1}{3}\cdot 18\sqrt{3}\cdot d.$$

Приравняем выражения для объёма:

$$\frac{1}{3}\cdot 18\sqrt{3}\cdot d=36\Rightarrow d=\frac{108}{18\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}.$$

Тот же результат можно получить координатным методом. Введём систему координат с началом в точке $B$, ось $Ox$ направим по $BA$, ось $Oy$ — по $BC$, ось $Oz$ — по $B{B}_1$.

Тогда $A(6;0;0)$, $C(0;6;0)$, $C_1(0;6;6)$, и

$$\overrightarrow{AC}=(-6;6;0),\overrightarrow{B{C}_1}=(0;6;6).$$

Косинус угла между прямыми:

$$\cos \phi =\frac{\left|\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{B{C}_1}\right|}{\left|\overrightarrow{AC}\right|\cdot \left|\overrightarrow{B{C}_1}\right|}=\frac{|0+36+0|}{6\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}}=\frac{1}{2},\phi =60^{\circ }.$$

Плоскость, проходящая через $AC$ параллельно $B{C}_1$, имеет вектор нормали, перпендикулярный обоим направляющим векторам. Подходит $\vec{n}=(1;1;-1)$: $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}=-6+6+0=0$, $\vec{n}\cdot \overrightarrow{B{C}_1}=0+6-6=0$. Плоскость проходит через $A(6;0;0)$, её уравнение $x+y-z-6=0$ (точка $C$ тоже ему удовлетворяет). Расстояние от точки $B(0;0;0)$ прямой $B{C}_1$ до этой плоскости:

$$d=\frac{|0+0-0-6|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $2\sqrt{3}$.