Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной 7. На стороне BB₁ отмечена точка K… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Параллелепипеды средняя 2025 развёрнутое

Дан куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ со стороной $7.$ На стороне $B B_{1}$ отмечена точка $K$ такая, что $B K = 5.$ Через точки $K$ и $C_{1}$ проходит плоскость $α,$ параллельная прямой $B D_{1} .$

а) Докажите, что $A_{1} P : P B_{1} = 3 : 2,$ если $P$ — точка пересечения $α$ с прямой $A_{1} B_{1} .$

б) Найдите меньший из отрезков, на которые плоскость $α$ делит диагональ $B_{1} D .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Рассмотрим диагональное сечение $B B_{1} D_{1} D$ . Проведём в нём через точку $K$ прямую, параллельную $B D_{1}$ ; пусть она пересекает $B_{1} D_{1}$ в точке $M$ . Прямая $B D_{1}$ параллельна плоскости $α$ , а прямая, проведённая через точку плоскости параллельно прямой, параллельной этой плоскости, лежит в плоскости. Поэтому $K M \subset α$ , в частности $M \in α$ .

Так как $B_{1} K = B B_{1} - B K = 7 - 5 = 2$ , по теореме о пропорциональных отрезках (стороны угла $B B_{1} D_{1}$ пересечены параллельными прямыми $K M$ и $B D_{1}$ ):

$\frac{B _{1} M}{M D _{1}} = \frac{B _{1} K}{K B} = \frac{2}{5} .$

Точки $C_{1}$ и $M$ лежат в $α$ и в плоскости верхней грани, поэтому $α$ пересекает верхнюю грань по прямой $C_{1} M$ . Значит, $P$ — точка пересечения прямых $C_{1} M$ и $A_{1} B_{1}$ .

Рассмотрим верхнюю грань. Треугольники $P B_{1} M$ и $C_{1} D_{1} M$ подобны по двум углам: $∠ P M B_{1} = ∠ C_{1} M D_{1}$ как вертикальные, $∠ P B_{1} M = ∠ C_{1} D_{1} M$ как накрест лежащие при параллельных $A_{1} B_{1}$ и $C_{1} D_{1}$ и секущей $B_{1} D_{1}$ . Отсюда

$\frac{P B _{1}}{C _{1} D _{1}} = \frac{B _{1} M}{M D _{1}} = \frac{2}{5} \Rightarrow P B_{1} = \frac{2}{5} \cdot 7 = \frac{14}{5} .$

Так как $P B_{1} < A_{1} B_{1}$ , точка $P$ лежит на ребре $A_{1} B_{1}$ , и

$A_{1} P = 7 - \frac{14}{5} = \frac{21}{5}, \frac{A _{1} P}{P B _{1}} = \frac{21}{14} = \frac{3}{2} .$

Что и требовалось доказать.

б) Диагонали куба $B_{1} D$ и $B D_{1}$ лежат в плоскости $B B_{1} D_{1} D$ и пересекаются в центре куба $O$ , который делит каждую из них пополам. Плоскость $α$ пересекает плоскость $B B_{1} D_{1} D$ по прямой $K M$ , поэтому точка $N$ пересечения $α$ с диагональю $B_{1} D$ — это точка пересечения прямых $K M$ и $B_{1} D$ .

Стороны угла с вершиной $B_{1}$ , лучи $B_{1} B$ и $B_{1} O$ , пересечены параллельными прямыми $K N$ и $B O$ (обе лежат на прямых, параллельных $B D_{1}$ ). По теореме о пропорциональных отрезках

$\frac{B _{1} N}{N O} = \frac{B _{1} K}{K B} = \frac{2}{5} \Rightarrow B_{1} N = \frac{2}{7} B_{1} O .$

Диагональ куба с ребром $7$ равна $73$ , поэтому $B_{1} O = \frac{7 3}{2}$ и

$B_{1} N = \frac{2}{7} \cdot \frac{7 3}{2} = 3, N D = 73 - 3 = 63 .$

Меньший из отрезков — $B_{1} N = 3$ .

Ответ: б) $3$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15