ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Сравним квадраты сторон треугольников $SAB$ и $SAD$. Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому $AD=BC=5\sqrt{3}$.

$$S{B}^2=169=144+25=A{B}^2+S{A}^2,S{D}^2=100=75+25=A{D}^2+S{A}^2.$$

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники $SAB$ и $SAD$ прямоугольные с прямым углом при вершине $A$:

$$SA\perp AB,SA\perp AD.$$

Прямые $AB$ и $AD$ пересекаются и лежат в плоскости основания, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $SA\perp (ABCD)$, то есть $SA$ — высота пирамиды. Что и требовалось доказать.

б) Проведём в треугольнике $SAB$ высоту $AH$ к стороне $SB$. Треугольник прямоугольный с прямым углом $A$, поэтому $H$ лежит на гипотенузе $SB$.

Докажем, что $AH\perp (SBC)$. Прямая $BC$ перпендикулярна $AB$ (стороны прямоугольника) и $SA$ (так как $SA\perp (ABCD)$). Эти прямые пересекаются и лежат в плоскости $SAB$, значит, $BC\perp (SAB)$, и $BC$ перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности $BC\perp AH$.

Итак, $AH\perp SB$ по построению и $AH\perp BC$. Прямые $SB$ и $BC$ пересекаются и лежат в плоскости $SBC$, поэтому $AH\perp (SBC)$, и расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$ равно $AH$.

Найдём $AH$, записав площадь прямоугольного треугольника $SAB$ двумя способами — через катеты и через гипотенузу с высотой:

$$\frac{1}{2}\cdot SA\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot SB\cdot AH\Rightarrow AH=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{5\cdot 12}{13}=\frac{60}{13}.$$

Ответ: б) $\frac{60}{13}$.