ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Разбор — 3 балла

а) Построим сечение. Прямые $D_{1}T$ и $A_1{B}_1$ лежат в плоскости верхней грани и не параллельны; пусть они пересекаются в точке $Q$. Точка $Q$ лежит на прямой $D_{1}T$, поэтому принадлежит плоскости $ET{D}_1$.

В треугольнике $Q{A}_1{D}_1$ отрезок $B_{1}T$ параллелен $A_1{D}_1$ (так как $B_1{C}_1\parallel A_1{D}_1$) и равен его половине: $B_{1}T=\frac{B_1{C}_1}{2}=\frac{A_1{D}_1}{2}=3$. Треугольники $Q{B}_{1}T$ и $Q{A}_1{D}_1$ подобны с коэффициентом $\frac{1}{2}$, значит, $B_1$ — середина $A_{1}Q$, а $T$ — середина $D_{1}Q$. Обозначим

$$A_1{B}_1=B_{1}Q=x.$$

В плоскости грани $A{A}_1{B}_{1}B$ проведём прямую $EQ$; пусть она пересекает ребро $B{B}_1$ в точке $M$. Точки $E$ и $Q$ лежат в плоскости сечения, поэтому и $M$ лежит в ней. Найдём $A_{1}E$:

$$A_{1}E=\frac{3}{5}\cdot A{A}_1=\frac{3}{5}\cdot 10=6.$$

В треугольнике $Q{A}_{1}E$ отрезок $B_{1}M$ параллелен $A_{1}E$ (рёбра $B{B}_1$ и $A{A}_1$ параллельны) и проходит через середину $B_1$ стороны $A_{1}Q$. По теореме Фалеса $M$ — середина $EQ$, а $B_{1}M$ — средняя линия:

$$B_{1}M=\frac{A_{1}E}{2}=3.$$

Плоскость пересекает грани $A{A}_1{D}_{1}D$, $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, $B{B}_1{C}_{1}C$, $A{A}_1{B}_{1}B$ по отрезкам $E{D}_1$, $D_{1}T$, $TM$, $ME$, поэтому сечение — четырёхугольник $E{D}_{1}TM$.

Грани $A{A}_1{D}_{1}D$ и $B{B}_1{C}_{1}C$ параллельны, а секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым:

$$E{D}_1\parallel MT.$$

Найдём эти отрезки. Треугольник $E{A}_1{D}_1$ прямоугольный и равнобедренный ($A_{1}E=A_1{D}_1=6$), треугольник $M{B}_{1}T$ тоже ($B_{1}M=B_{1}T=3$), поэтому

$$E{D}_1=6\sqrt{2},MT=3\sqrt{2}.$$

Так как $E{D}_1\ne MT$, четырёхугольник $E{D}_{1}TM$ не параллелограмм (у параллелограмма противоположные стороны равны). Значит, вторая пара сторон не параллельна, и $E{D}_{1}TM$ — трапеция с основаниями $E{D}_1$ и $MT$.

Сравним боковые стороны. $M$ — середина $EQ$, поэтому $EM=MQ$, а из прямоугольного треугольника $M{B}_{1}Q$ (ребро $B{B}_1$ перпендикулярно $A_1{B}_1$):

$$EM=MQ=\sqrt{B_1{M}^2+B_1{Q}^2}=\sqrt{9+x^2}.$$

$T$ — середина $D_{1}Q$, поэтому $D_{1}T=TQ$, а из прямоугольного треугольника $T{B}_{1}Q$:

$$D_{1}T=TQ=\sqrt{B_1{T}^2+B_1{Q}^2}=\sqrt{9+x^2}.$$

Боковые стороны равны, значит, трапеция $E{D}_{1}TM$ равнобедренная. Что и требовалось доказать.

б) При $x=AB=2\sqrt{10}$ боковые стороны равны

$$EM=D_{1}T=\sqrt{9+40}=7.$$

Опустим высоты $T{H}_1$ и $M{H}_2$ на большее основание $E{D}_1$. В равнобедренной трапеции отрезки $D_1{H}_1$ и $E{H}_2$ равны полуразности оснований:

$$D_1{H}_1=\frac{E{D}_1-MT}{2}=\frac{6\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$$

Из прямоугольного треугольника $D_1{H}_{1}T$ по теореме Пифагора:

$$T{H}_1=\sqrt{D_1{T}^2-D_1{H}_1^2}=\sqrt{49-\frac{9}{2}}=\sqrt{\frac{89}{2}}.$$

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

$$S_{E{D}_{1}TM}=\frac{6\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{\frac{89}{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{89}}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{89}}{2}.$$

Ответ: б) $\frac{9\sqrt{89}}{2}$.