ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Разбор — 3 балла

а) Рассмотрим диагональное сечение $B{B}_1{D}_{1}D$. Проведём в нём через точку $K$ прямую, параллельную $B{D}_1$; пусть она пересекает $B_1{D}_1$ в точке $L$. Так как $K$ — середина $B{B}_1$, по теореме Фалеса $L$ — середина $B_1{D}_1$, и $KL$ — средняя линия треугольника $B{B}_1{D}_1$.

Прямая $KL$ лежит в плоскости $\alpha$. Действительно, если прямая параллельна плоскости, то прямая, проведённая через точку этой плоскости параллельно данной прямой, лежит в плоскости. Здесь $B{D}_1\parallel \alpha$, $K\in \alpha$ и $KL\parallel B{D}_1$.

Диагонали квадрата $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точкой пересечения делятся пополам, а $L$ — середина диагонали $B_1{D}_1$. Значит, $L$ — точка пересечения диагоналей и лежит на $A_1{C}_1$. Прямая $C_{1}L$ проходит через две точки плоскости $\alpha$, поэтому лежит в ней, а эта прямая и есть $A_1{C}_1$. Итак, $A_1\in \alpha$.

Плоскость $\alpha$ проходит через точки $A_1$, $K$, $C_1$, лежащие на трёх рёбрах $B_1{A}_1$, $B_{1}B$, $B_1{C}_1$, выходящих из вершины $B_1$. Она отсекает от призмы тетраэдр $B_1{A}_{1}K{C}_1$, и сечение — треугольник $A_{1}K{C}_1$.

Призма прямая, поэтому $B{B}_1\perp (A_1{B}_1{C}_1)$, и треугольники $A_1{B}_{1}K$ и $C_1{B}_{1}K$ прямоугольные с прямым углом $B_1$. У них катеты $A_1{B}_1=C_1{B}_1$ как стороны квадрата, а катет $B_{1}K$ общий. По двум катетам треугольники равны, поэтому $A_{1}K=C_{1}K$, и треугольник $A_{1}K{C}_1$ равнобедренный. Что и требовалось доказать.

б) Основание сечения — диагональ квадрата со стороной $3\sqrt{2}$:

$$A_1{C}_1=\sqrt{A_1{B}_1^2+B_1{C}_1^2}=\sqrt{18+18}=6.$$

Точка $K$ — середина ребра $B{B}_1$, поэтому $B_{1}K=\frac{2\sqrt{7}}{2}=\sqrt{7}$. По теореме Пифагора в треугольнике $A_1{B}_{1}K$:

$$A_{1}K=\sqrt{A_1{B}_1^2+B_1{K}^2}=\sqrt{18+7}=5,C_{1}K=A_{1}K=5.$$

Периметр сечения:

$$P_{A_{1}K{C}_1}=A_1{C}_1+A_{1}K+C_{1}K=6+5+5=16.$$

Ответ: б) $16$.