Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Через прямую BD₁… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Параллелепипеды средняя 2025 развёрнутое

Дан прямоугольный параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Через прямую $B D_{1}$ параллельно прямой $A C$ проведена плоскость $π$ , причём сечение параллелепипеда плоскостью $π$ представляет собой ромб.

а) Докажите, что $A B C D$ — квадрат.

б) Найти угол между плоскостью $π$ и плоскостью $B C C_{1}$ , если $A D = 4$ и $A A_{1} = 6$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $X$ — середина диагонали $B D_{1}$ . Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам, поэтому $X$ — также середина диагонали $A C_{1}$ и лежит в плоскости диагонального сечения $A A_{1} C_{1} C$ .

Плоскость $A A_{1} C_{1} C$ проходит через прямую $A C ∥ π$ и имеет с $π$ общую точку $X$ , поэтому пересекает $π$ по прямой, проходящей через $X$ параллельно $A C$ . В прямоугольнике $A A_{1} C_{1} C$ точка $X$ — центр, и эта прямая проходит через середины $M$ и $N$ рёбер $A A_{1}$ и $C C_{1}$ . Итак, $M, N \in π$ и $M N ∥ A C$ .

Сечение MBND₁ — ромб

Плоскость $π$ пересекает грани $A A_{1} B_{1} B$ , $B B_{1} C_{1} C$ , $C C_{1} D_{1} D$ , $A A_{1} D_{1} D$ по отрезкам $M B$ , $B N$ , $N D_{1}$ , $D_{1} M$ , поэтому сечение — четырёхугольник $M B N D_{1}$ . Противоположные грани параллелепипеда параллельны, а параллельные плоскости секущая плоскость пересекает по параллельным прямым: $M B ∥ D_{1} N$ , $B N ∥ M D_{1}$ . Значит, $M B N D_{1}$ — параллелограмм.

По условию это ромб, поэтому $M B = B N$ . Треугольники $M A B$ и $N C B$ прямоугольные (боковые рёбра перпендикулярны основанию), их гипотенузы $M B = N B$ равны и катеты $A M = C N = \frac{A A _{1}}{2}$ равны. По гипотенузе и катету треугольники равны, откуда $A B = C B$ . Прямоугольник $A B C D$ с равными соседними сторонами — квадрат. Что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

б) Теперь $A B = B C = A D = 4$ , $A A_{1} = 6$ . Пусть $φ$ — угол между плоскостями $π$ и $B C C_{1}$ . Воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции: площадь проекции многоугольника равна его площади, умноженной на косинус угла между плоскостями.

Спроецируем ромб $M B N D_{1}$ на плоскость $B C C_{1}$ . Точки $B$ и $N$ лежат в этой плоскости. Прямая $A B$ перпендикулярна $B C$ и $B B_{1}$ , поэтому $A B ⊥ (B C C_{1})$ . Пусть $K$ — середина $B B_{1}$ . Четырёхугольник $A B K M$ — прямоугольник ( $A M ∥ B K$ , $A M = B K = 3$ ), поэтому $M K ∥ A B$ и $M K ⊥ (B C C_{1})$ : точка $K$ — проекция $M$ . Аналогично $D_{1} C_{1} ∥ A B$ , поэтому $D_{1} C_{1} ⊥ (B C C_{1})$ , и проекция точки $D_{1}$ — точка $C_{1}$ .

Проекция ромба — четырёхугольник $B N C_{1} K$ . Его стороны $B K$ и $N C_{1}$ лежат на параллельных рёбрах $B B_{1}$ и $C C_{1}$ и равны $3$ , поэтому это параллелограмм с основанием $B K = 3$ и высотой, равной расстоянию между прямыми $B B_{1}$ и $C C_{1}$ , то есть $B C = 4$ :

$S_{B N C_{1} K} = B K \cdot B C = 3 \cdot 4 = 12.$

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Четырёхугольник $A M N C$ — параллелограмм ( $A M ∥ C N$ , $A M = C N$ ), поэтому $M N = A C = 42$ . Диагональ параллелепипеда:

$B D_{1} = A B^{2} + A D^{2} + A A_{1}^{2} = 16 + 16 + 36 = 68 = 217 .$

$S_{M B N D_{1}} = \frac{1}{2} \cdot M N \cdot B D_{1} = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 217 = 434 .$

Тогда

$cos φ = \frac{S _{B N C_{1} K}}{S _{M B N D_{1}}} = \frac{12}{4 34} = \frac{3}{34}, φ = arccos \frac{3}{34} .$

Рисунок к решению

Ответ: б) $arccos \frac{3}{34}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15