В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки D и E делят соответственно рёбра AC и SB так, что AD:DC=SE:EB=1:2… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2026 развёрнутое

В правильной треугольной пирамиде $S A B C$ с основанием $A B C$ точки $D$ и $E$ делят соответственно рёбра $A C$ и $S B$ так, что $A D : D C = S E : E B = 1 : 2.$ На продолжении ребра $S C$ за точку $S$ отмечена точка $O .$ Прямые $O D$ и $O E$ пересекают рёбра $A S$ и $B C$ в точках $P$ и $F$ соответственно, причём $B F = F C .$

a) Докажите, что отрезки $D E$ и $P F$ пересекаются.

б) Найдите отношение $A P : P S .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Точки $O$ и $E$ лежат в плоскости $S B C$ , а точка $D$ — нет (она лежит на ребре $A C$ и не совпадает с $C$ ). Значит, точки $O$ , $D$ , $E$ не лежат на одной прямой и задают плоскость $(O D E)$ . Точка $P$ лежит на прямой $O D$ , а точка $F$ — на прямой $O E$ , поэтому обе они лежат в этой плоскости. Итак, точки $D$ , $E$ , $P$ , $F$ лежат в одной плоскости.

Выясним порядок точек на прямых. В плоскости $S A C$ точка $O$ лежит на продолжении $C S$ за точку $S$ , поэтому точки $O$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $A S$ . Точка $D$ лежит на отрезке $A C$ и не совпадает с $A$ , значит, она по ту же сторону от $A S$ , что и $C$ . Поэтому отрезок $O D$ пересекает прямую $A S$ , и точка $P$ лежит между $O$ и $D$ .

Точно так же в плоскости $S B C$ точки $O$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $S B$ , а $F$ — середина $B C$ — по одну сторону с $C$ . Поэтому точка $E$ лежит между $O$ и $F$ .

Рассмотрим треугольник $O D F$ (он невырожденный: точка $D$ не лежит на прямой $O F \subset (S B C)$ ). Точка $P$ лежит на его стороне $O D$ , точка $E$ — на стороне $O F$ . Отрезки $D E$ и $F P$ соединяют вершины треугольника с точками противоположных сторон, а такие отрезки пересекаются внутри треугольника. Значит, отрезки $D E$ и $P F$ пересекаются. Что и требовалось доказать.

б) Прямая $O F$ пересекает стороны $S B$ , $B C$ и продолжение стороны $C S$ треугольника $S B C$ в точках $E$ , $F$ , $O$ . По теореме Менелая

$\frac{S E}{E B} \cdot \frac{B F}{F C} \cdot \frac{C O}{O S} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{C O}{O S} = 1 \Rightarrow \frac{S O}{O C} = \frac{1}{2} .$

Прямая $O D$ пересекает стороны $A S$ , $C A$ и продолжение стороны $S C$ треугольника $S A C$ в точках $P$ , $D$ , $O$ . По теореме Менелая

$\frac{A P}{P S} \cdot \frac{S O}{O C} \cdot \frac{C D}{D A} = 1 \Rightarrow \frac{A P}{P S} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \Rightarrow \frac{A P}{P S} = 1.$

Здесь $\frac{C D}{D A} = 2$ , так как $A D : D C = 1 : 2$ . Итак, $P$ — середина ребра $A S$ .

Ответ: б) $1 : 1$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15