В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания ABCD. Точка N делит ребро SD в отношении SN:ND=2:3… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2024 развёрнутое

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ точка $O$ — центр основания $A B C D .$ Точка $N$ делит ребро $S D$ в отношении $S N : N D = 2 : 3.$ Плоскость $α,$ проходящая через точки $O$ и $N$ и параллельная ребру $S A,$ пересекает ребро $S C$ в точке $M .$ Известно, что $S A = A B = 10.$

а) Докажите, что точка $M$ — середина $S C .$

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $α$ пересечёт грань $B S C .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) В правильной четырёхугольной пирамиде основание $A B C D$ — квадрат, а его центр $O$ — точка пересечения диагоналей, поэтому $O$ — середина $A C$ и $B D$ .

Воспользуемся теоремой: если прямая параллельна плоскости, то любая плоскость, проходящая через эту прямую и пересекающая данную плоскость, пересекает её по прямой, параллельной данной прямой.

Плоскость $(A S C)$ проходит через прямую $S A ∥ α$ и имеет с $α$ общую точку $O$ . Значит, $α$ пересекает $(A S C)$ по прямой, проходящей через $O$ параллельно $S A$ . Точка $M$ лежит и в $α$ , и на ребре $S C \subset (A S C)$ , поэтому она лежит на этой прямой:

$O M ∥ S A .$

В треугольнике $A S C$ прямая $O M$ проходит через середину $O$ стороны $A C$ параллельно стороне $S A$ , поэтому по теореме Фалеса $M$ — середина $S C$ . Что и требовалось доказать.

б) По условию $S A = A B = 10$ . В правильной пирамиде все боковые рёбра равны и все стороны основания равны, значит, все рёбра пирамиды равны $10$ , а боковые грани — правильные треугольники.

Чтобы найти след плоскости $α$ на грани $B S C$ , кроме точки $M$ нужна ещё точка на ребре $B C$ .

Плоскость грани $A S D$ проходит через прямую $S A ∥ α$ и имеет с $α$ общую точку $N$ . По той же теореме $α$ пересекает $(A S D)$ по прямой, проходящей через $N$ параллельно $S A$ . Пусть она пересекает ребро $A D$ в точке $L$ . Так как $N L ∥ S A$ , по теореме о пропорциональных отрезках

$\frac{D L}{L A} = \frac{D N}{N S} = \frac{3}{2}, D L = \frac{3}{5} \cdot 10 = 6, A L = 4.$

Точки $L$ и $O$ лежат в $α$ и в плоскости основания, поэтому $α$ пересекает основание по прямой $L O$ . Пусть эта прямая пересекает $B C$ в точке $K$ .

Треугольники $A O L$ и $C O K$ равны по стороне и двум прилежащим углам: $A O = C O$ , $∠ O A L = ∠ O C K$ как накрест лежащие при параллельных $A D$ и $B C$ и секущей $A C$ , $∠ A O L = ∠ C O K$ как вертикальные. Отсюда

$C K = A L = 4, B K = B C - C K = 6,$

то есть $K$ лежит на ребре $B C$ .

Точки $M$ и $K$ лежат и в плоскости $α$ , и на границе грани $B S C$ , поэтому $α$ пересекает эту грань по отрезку $M K$ .

В треугольнике $M C K$ известны $C M = \frac{S C}{2} = 5$ , $C K = 4$ и угол между ними $∠ M C K = ∠ S C B = 6 0^{\circ}$ (угол правильного треугольника $B S C$ ). По теореме косинусов

$M K^{2} = C M^{2} + C K^{2} - 2 \cdot C M \cdot C K \cdot cos 6 0^{\circ} = 25 + 16 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 21,$

$M K = 21 .$

Ответ: б) $21$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15