В основании треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2026 развёрнутое

В основании треугольной призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом $B$ . Катеты и высота призмы равны $6$ . На рёбрах $A A_{1}$ и $C C_{1}$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $A M = 2$ , $C N = 1$ .

а) Докажите, что плоскость $M N B_{1}$ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра $M N B B_{1}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) В условии призма подразумевается прямой: её боковые рёбра перпендикулярны основаниям и равны высоте, $A A_{1} = B B_{1} = C C_{1} = 6$ . Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:

$V = S_{A B C} \cdot A A_{1} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 108.$

Сечение MNB₁ и тетраэдр MNBB₁

Плоскость $M N B_{1}$ пересекает грань $A A_{1} C_{1} C$ по отрезку $M N$ , грань $A A_{1} B_{1} B$ — по отрезку $M B_{1}$ , грань $B B_{1} C_{1} C$ — по отрезку $N B_{1}$ . Сечение — треугольник $M N B_{1}$ . Оно отрезает от призмы многогранник с вершинами $B_{1}$ , $A_{1}$ , $M$ , $N$ , $C_{1}$ — это пирамида $B_{1} A_{1} M N C_{1}$ с вершиной $B_{1}$ и основанием $A_{1} M N C_{1}$ , лежащим в грани $A A_{1} C_{1} C$ . Вторая часть — оставшийся многогранник $A B C M N B_{1}$ .

Найдём площадь основания $A_{1} M N C_{1}$ . Отрезки $A_{1} M$ и $C_{1} N$ лежат на параллельных рёбрах $A A_{1}$ и $C C_{1}$ , поэтому параллельны, и

$A_{1} M = A A_{1} - A M = 6 - 2 = 4, C_{1} N = C C_{1} - C N = 6 - 1 = 5.$

Боковое ребро $A A_{1}$ перпендикулярно плоскости основания $A_{1} B_{1} C_{1}$ , значит, $A A_{1} ⊥ A_{1} C_{1}$ , и $A_{1} M N C_{1}$ — прямоугольная трапеция с высотой $A_{1} C_{1}$ . Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами $6$ равна $A_{1} C_{1} = 62$ . Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

$S_{A_{1} M N C_{1}} = \frac{4 + 5}{2} \cdot 62 = 272 .$

Найдём высоту пирамиды. Пусть $H$ — середина $A_{1} C_{1}$ . В равнобедренном треугольнике $A_{1} B_{1} C_{1}$ медиана $B_{1} H$ является высотой: $B_{1} H ⊥ A_{1} C_{1}$ . Кроме того, $B_{1} H ⊥ A A_{1}$ , так как $A A_{1}$ перпендикулярна плоскости $A_{1} B_{1} C_{1}$ . Прямые $A_{1} C_{1}$ и $A A_{1}$ пересекаются и лежат в плоскости $A A_{1} C_{1}$ , поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $B_{1} H ⊥ (A A_{1} C_{1})$ , и $B_{1} H$ — высота пирамиды. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине:

$B_{1} H = \frac{A _{1} C _{1}}{2} = 32 .$

Рисунок к решению

Объём пирамиды:

$V_{B_{1} A_{1} M N C_{1}} = \frac{1}{3} \cdot S_{A_{1} M N C_{1}} \cdot B_{1} H = \frac{1}{3} \cdot 272 \cdot 32 = 54 = \frac{1}{2} V .$

Тогда объём второй части равен $108 - 54 = 54$ , и плоскость $M N B_{1}$ делит призму на два многогранника равного объёма. Что и требовалось доказать.

б) Примем за основание тетраэдра $M N B B_{1}$ треугольник $B B_{1} N$ , лежащий в грани $B B_{1} C_{1} C$ , а за высоту — расстояние от $M$ до плоскости этой грани.

Грань $B B_{1} C_{1} C$ — прямоугольник. Точка $N$ лежит на прямой $C C_{1}$ , параллельной $B B_{1}$ , поэтому расстояние от $N$ до прямой $B B_{1}$ равно $B C = 6$ :

$S_{B B_{1} N} = \frac{1}{2} \cdot B B_{1} \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18.$

Прямая $A B$ перпендикулярна $B C$ (катеты) и $B B_{1}$ (боковое ребро прямой призмы), поэтому $A B ⊥ (B B_{1} C_{1})$ . Ребро $A A_{1}$ параллельно $B B_{1}$ , значит, $A A_{1} ∥ (B B_{1} C_{1})$ , и все точки прямой $A A_{1}$ одинаково удалены от этой плоскости:

$ρ (M; (B B_{1} C_{1})) = ρ (A; (B B_{1} C_{1})) = A B = 6.$

Объём тетраэдра:

$V_{M N B B_{1}} = \frac{1}{3} \cdot S_{B B_{1} N} \cdot ρ (M; (B B_{1} C_{1})) = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 = 36.$

Ответ: б) $36$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15