В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=5√2. а)… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя развёрнутое

В пирамиде $A B C D$ рёбра $D A$ , $D B$ и $D C$ попарно перпендикулярны, а $A B = B C = A C = 52$ .

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах $D A$ и $D C$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $D M : M A = D N : N C = 2 : 3$ . Найдите площадь сечения $M N B$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром основания. Треугольник $A B C$ правильный по условию, осталось разобраться с высотой.

Рёбра $D A$ , $D B$ , $D C$ попарно перпендикулярны, поэтому треугольники $D A B$ , $D B C$ , $D A C$ прямоугольные с прямым углом при вершине $D$ .

Треугольники $D A B$ и $D C B$ равны по катету и гипотенузе: катет $D B$ общий, гипотенузы $A B = C B$ . Отсюда $D A = D C$ .

Треугольники $D A B$ и $D A C$ равны по катету и гипотенузе: катет $D A$ общий, гипотенузы $A B = A C$ . Отсюда $D B = D C$ .

Итак, все боковые рёбра равны: $D A = D B = D C$ . Пусть $D O$ — высота пирамиды. Прямоугольные треугольники $D O A$ , $D O B$ , $D O C$ имеют общий катет $D O$ и равные гипотенузы, поэтому $O A = O B = O C$ . Значит, $O$ — центр описанной окружности треугольника $A B C$ , а у правильного треугольника он совпадает с центром треугольника. Основание высоты — центр правильного треугольника, поэтому пирамида правильная. Что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

б) Обозначим $D A = D B = D C = a$ . По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $A D C$ :

$D A^{2} + D C^{2} = A C^{2} \Leftrightarrow 2 a^{2} = (52)^{2} = 50 \Leftrightarrow a = 5.$

По условию $D M : M A = D N : N C = 2 : 3$ , поэтому

$D M = D N = \frac{2}{5} \cdot 5 = 2.$

Сечение MNB

Плоскость $M N B$ проходит через точки рёбер $D A$ , $D C$ и вершину $B$ , поэтому сечение — треугольник $M N B$ .

Рисунок к решению

Найдём его стороны. Так как $D A ⊥ D B$ и $D C ⊥ D B$ , треугольники $M D B$ и $N D B$ прямоугольные. По теореме Пифагора

$M B = D M^{2} + D B^{2} = 2^{2} + 5^{2} = 29, N B = D N^{2} + D B^{2} = 29 .$

Так как $D A ⊥ D C$ , треугольник $M D N$ прямоугольный:

$M N = D M^{2} + D N^{2} = 2^{2} + 2^{2} = 22 .$

Треугольник $M N B$ равнобедренный ( $M B = N B$ ). Пусть $T$ — середина $M N$ , тогда медиана $B T$ является высотой, $B T ⊥ M N$ , и $T N = 2$ . Из прямоугольного треугольника $B T N$ :

$B T = B N^{2} - T N^{2} = 29 - 2 = 27 = 33 .$

Рисунок к решению

Площадь сечения:

$S_{M N B} = \frac{1}{2} \cdot M N \cdot B T = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 33 = 36 .$

Ответ: б) $36$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15