Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S. Точка M — середина хорды BC, AC — диаметр. а) Докажите, что… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Конусы средняя 2026 развёрнутое

Точки $A, B$ и $C$ лежат на окружности основания конуса с вершиной $S .$ Точка $M$ — середина хорды $B C,$ $A C$ — диаметр.

а) Докажите, что угол между прямой $S M$ и плоскостью $A B C$ равен углу между прямой $A B$ и плоскостью $S B C .$

б) Найдите высоту конуса, если угол между прямой $A B$ и плоскостью $S B C$ равен $6 0^{\circ},$ $A C = 25,$ $B C = 7.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ — центр окружности основания. Тогда $S O$ — высота конуса, $S O ⊥ (A B C)$ . Так как $A C$ — диаметр, точка $O$ — середина $A C$ , а вписанный угол $A B C$ , опирающийся на диаметр, прямой:

$∠ A B C = 9 0^{\circ}, A B ⊥ B C .$

Угол между $S M$ и плоскостью $A B C$ . Точка $O$ — проекция $S$ на плоскость основания, поэтому $O M$ — проекция наклонной $S M$ , и по определению этот угол равен $∠ S M O$ . (Точка $M$ не совпадает с $O$ : иначе хорда $B C$ была бы вторым диаметром и точка $B$ совпала бы с $A$ .)

Отрезок $O M$ соединяет середины сторон $A C$ и $B C$ треугольника $A B C$ , то есть это средняя линия:

$O M ∥ A B, O M = \frac{A B}{2} .$

Так как $A B ⊥ B C$ , то и $O M ⊥ B C$ .

Образующие конуса равны: $S B = S C$ . В равнобедренном треугольнике $S B C$ медиана $S M$ является высотой, поэтому $S M ⊥ B C$ .

Прямая $B C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $O M$ и $S M$ плоскости $S M O$ , значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $B C ⊥ (S M O)$ .

Опустим в плоскости $S M O$ перпендикуляр $O H$ на прямую $S M$ . Тогда $O H ⊥ S M$ по построению и $O H ⊥ B C$ , так как $O H$ лежит в плоскости $S M O$ . Прямые $S M$ и $B C$ пересекаются и лежат в плоскости $S B C$ , поэтому $O H ⊥ (S B C)$ .

Значит, $H$ — проекция точки $O$ на плоскость $S B C$ , а $M H$ — проекция наклонной $O M$ . Треугольник $S O M$ прямоугольный с прямым углом $O$ , его угол $S M O$ острый, поэтому основание высоты $H$ лежит на отрезке $S M$ и $∠ O M H = ∠ O M S$ . Итак, угол между прямой $O M$ и плоскостью $S B C$ равен $∠ S M O$ .

Параллельные прямые образуют с плоскостью равные углы. Так как $A B ∥ O M$ , угол между $A B$ и плоскостью $S B C$ тоже равен $∠ S M O$ , то есть равен углу между $S M$ и плоскостью $A B C$ . Что и требовалось доказать.

б) Треугольник $A B C$ прямоугольный с гипотенузой $A C$ . По теореме Пифагора

$A B = A C^{2} - B C^{2} = 2 5^{2} - 7^{2} = 576 = 24.$

Средняя линия $O M = \frac{A B}{2} = 12$ .

По пункту а) угол между $S M$ и плоскостью $A B C$ равен углу между $A B$ и плоскостью $S B C$ , то есть $∠ S M O = 6 0^{\circ}$ .

В прямоугольном треугольнике $S O M$ тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему:

$tg ∠ S M O = \frac{S O}{O M} \Rightarrow S O = O M \cdot tg 6 0^{\circ} = 123 .$

Ответ: б) $123$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — конусы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15