В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины ребер AB и CD… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды сложная 2024 развёрнутое

В правильном тетраэдре $A B C D$ точки $M$ и $N$ — середины ребер $A B$ и $C D$ соответственно.

a) Докажите, что прямая $M N$ перпендикулярна ребрам $A B$ и $C D .$

б) Плоскость $α$ перпендикулярна прямой $M N$ и пересекает ребро $B C$ в точке $K .$ Найдите площадь сечения тетраэдра $A B C D$ плоскостью $α,$ если известно, что $B K = 1,$ $K C = 5.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Все рёбра правильного тетраэдра равны, а все грани — равные правильные треугольники.

Отрезки $A N$ и $B N$ — медианы равных правильных треугольников $A C D$ и $B C D$ , проведённые к общей стороне $C D$ , поэтому $A N = B N$ . В равнобедренном треугольнике $A N B$ медиана $N M$ , проведённая к основанию, является высотой, значит, $M N ⊥ A B$ .

Аналогично $C M = D M$ как медианы равных правильных треугольников $A B C$ и $A B D$ . В равнобедренном треугольнике $C M D$ медиана $M N$ является высотой, значит, $M N ⊥ C D$ . Что и требовалось доказать.

б) Ребро тетраэдра $B C = B K + K C = 6$ .

Выясним, как расположена плоскость $α$ . Плоскость $π_{1}$ , проходящая через $M$ перпендикулярно $M N$ , содержит все прямые, проходящие через $M$ перпендикулярно $M N$ , в частности прямую $A B$ . Аналогично плоскость $π_{2}$ , проходящая через $N$ перпендикулярно $M N$ , содержит прямую $C D$ . Плоскости $π_{1}$ , $π_{2}$ и $α$ перпендикулярны одной прямой $M N$ , поэтому параллельны (или совпадают).

Точка $B$ лежит в $π_{1}$ , точка $C$ — в $π_{2}$ , поэтому внутренние точки ребра $B C$ лежат строго между параллельными плоскостями $π_{1}$ и $π_{2}$ . Плоскость $α$ проходит через внутреннюю точку $K$ ребра $B C$ , значит, она не совпадает ни с $π_{1}$ , ни с $π_{2}$ и лежит между ними. Отсюда

$A B ∥ α, C D ∥ α,$

а рёбра $A C$ , $A D$ , $B C$ , $B D$ , соединяющие $π_{1}$ и $π_{2}$ , плоскость $α$ пересекает во внутренних точках.

Построим сечение. Плоскость $A B C$ проходит через прямую $A B ∥ α$ , поэтому пересекает $α$ по прямой, параллельной $A B$ : проведём $K P ∥ A B$ , $P \in A C$ . Плоскость $B C D$ проходит через $C D ∥ α$ : проведём $K H ∥ C D$ , $H \in B D$ . Точно так же в грани $A C D$ проведём $P G ∥ C D$ , $G \in A D$ ; тогда $H G$ — отрезок пересечения $α$ с гранью $A B D$ , и $H G ∥ A B$ . Сечение — четырёхугольник $P K H G$ .

У него противоположные стороны попарно параллельны ( $K P ∥ G H ∥ A B$ , $K H ∥ P G ∥ C D$ ), поэтому $P K H G$ — параллелограмм.

Докажем, что $A B ⊥ C D$ . Медианы $A N$ и $B N$ правильных треугольников $A C D$ и $B C D$ являются высотами: $C D ⊥ A N$ и $C D ⊥ B N$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $C D ⊥ (A N B)$ , поэтому $C D ⊥ A B$ . Стороны $K P$ и $K H$ параллельны $A B$ и $C D$ , значит, $K P ⊥ K H$ , и $P K H G$ — прямоугольник.

Так как $K H ∥ C D$ , треугольник $B K H$ подобен треугольнику $B C D$ :

$\frac{K H}{C D} = \frac{B K}{B C} = \frac{1}{6} \Rightarrow K H = 1.$

Так как $K P ∥ A B$ , треугольник $C K P$ подобен треугольнику $C B A$ :

$\frac{K P}{A B} = \frac{C K}{C B} = \frac{5}{6} \Rightarrow K P = 5.$

Площадь сечения:

$S_{P K H G} = K P \cdot K H = 5 \cdot 1 = 5.$

Ответ: б) $5$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15