ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, а через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Обозначим её $\beta$: в ней лежат все четыре точки $M$, $K$, $N$, $L$.

Точки $M$ и $N$ лежат в плоскости $\beta$ и в плоскости грани $SAB$, поэтому эти плоскости пересекаются по прямой $MN$. Точки $K$ и $L$ лежат в плоскости $\beta$ и в плоскости грани $SBC$, поэтому эти плоскости пересекаются по прямой $KL$. Сами грани $SAB$ и $SBC$ пересекаются по прямой $SB$.

Докажем, что $MN$ не параллельна $SB$. Если бы $MN\parallel SB$, то по теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике $SAB$ было бы

$$\frac{AN}{NS}=\frac{AM}{MB}=1,$$

а по условию $AN:NS=3$. Значит, прямые $MN$ и $SB$, лежащие в одной плоскости $SAB$, пересекаются. Обозначим точку пересечения $R$.

Точка $R$ лежит на $MN$, то есть в плоскости $\beta$, и на $SB$, то есть в плоскости $SBC$. Значит, $R$ лежит на линии пересечения этих плоскостей — прямой $KL$. Итак, прямые $MN$, $KL$ и $SB$ проходят через одну точку $R$, что и требовалось доказать.

б) По теореме Менелая для треугольника $SAB$ и прямой $MNR$:

$$\frac{AN}{NS}\cdot \frac{SR}{RB}\cdot \frac{BM}{MA}=1\Rightarrow 3\cdot \frac{SR}{RB}\cdot 1=1\Rightarrow \frac{BR}{RS}=3.$$

По теореме Менелая для треугольника $SBC$ и прямой $RKL$ (учитываем, что $K$ — середина $SC$):

$$\frac{BR}{RS}\cdot \frac{SK}{KC}\cdot \frac{CL}{LB}=1\Rightarrow 3\cdot 1\cdot \frac{CL}{LB}=1\Rightarrow \frac{BL}{LC}=3.$$

Ответ: б) $3:1$.