B правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 8, а… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды сложная 2025 развёрнутое

B правильной четырёхугольной призме $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ сторона $A B$ основания равна 8, а боковое ребро $A A_{1}$ равно 4. На рёбрах $B C$ и $C_{1} D_{1}$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно, причём $B K = C_{1} L = 3.$ Плоскость $γ$ параллельна прямой $B D$ и содержит точки $K$ и $L .$

a) Докажите, что прямая $A_{1} C$ перпендикулярна плоскости $γ .$

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка $A_{1},$ а основание — сечение данной призмы плоскостью $γ .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Сначала построим сечение призмы плоскостью $γ$ .

Плоскость нижнего основания проходит через прямую $B D$ , параллельную $γ$ , и через точку $K \in γ$ . Поэтому она пересекает $γ$ по прямой, проходящей через $K$ параллельно $B D$ . Проведём $K M ∥ B D$ , $M \in C D$ .

Плоскость верхнего основания проходит через прямую $B_{1} D_{1} ∥ B D$ , а значит, $B_{1} D_{1} ∥ γ$ . Поэтому эта плоскость пересекает $γ$ по прямой, проходящей через $L$ параллельно $B_{1} D_{1}$ . Проведём $L P ∥ B_{1} D_{1}$ , $P \in B_{1} C_{1}$ .

Точки $M$ и $L$ лежат в грани $D C C_{1} D_{1}$ , точки $K$ и $P$ — в грани $B C C_{1} B_{1}$ . Сечение — четырёхугольник $K M L P$ , в котором $K M ∥ L P$ (обе прямые параллельны $B D$ ).

Найдём размеры. Так как $K M ∥ B D$ , треугольник $C K M$ подобен равнобедренному прямоугольному треугольнику $C B D$ , поэтому

$C M = C K = B C - B K = 5, K M = 52 .$

Точно так же

$C_{1} P = C_{1} L = 3, L P = 32 .$

Пусть $E$ — точка пересечения $A C$ и $K M$ , а $F$ — точка пересечения $A_{1} C_{1}$ и $L P$ . Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому $A C ⊥ B D$ и $A C ⊥ K M$ . В равнобедренном прямоугольном треугольнике $C K M$ высота $C E$ является медианой и равна половине гипотенузы:

$C E = \frac{K M}{2} = \frac{5 2}{2}, аналогично C_{1} F = \frac{L P}{2} = \frac{3 2}{2} .$

Диагональ основания $A C = A_{1} C_{1} = 82$ , поэтому

$A E = 82 - \frac{5 2}{2} = \frac{11 2}{2}, A_{1} F = 82 - \frac{3 2}{2} = \frac{13 2}{2} .$

Точки $E$ и $F$ лежат в плоскости $γ$ и в плоскости $A A_{1} C_{1} C$ , так что $F E$ — отрезок их пересечения.

Рассмотрим прямоугольник $A A_{1} C_{1} C$ . Опустим перпендикуляр $F T$ на $A C$ . Четырёхугольник $F C_{1} C T$ — прямоугольник, поэтому

$F T = C C_{1} = 4, C T = C_{1} F = \frac{3 2}{2}, E T = C E - C T = \frac{5 2}{2} - \frac{3 2}{2} = 2 .$

Точка $T$ лежит между $E$ и $C$ , поэтому $∠ F E C = ∠ F E T$ . Сравним углы:

$tg ∠ A_{1} C A = \frac{A A _{1}}{A C} = \frac{4}{8 2} = \frac{2}{4}, ctg ∠ F E C = \frac{E T}{F T} = \frac{2}{4} .$

Оба угла острые, и тангенс одного равен котангенсу другого, значит,

$∠ A_{1} C A + ∠ F E C = 9 0^{\circ} .$

Точки $F$ и $E$ лежат на противоположных сторонах прямоугольника по разные стороны от диагонали $A_{1} C$ , поэтому отрезки $F E$ и $A_{1} C$ пересекаются в некоторой точке $H$ . В треугольнике $E H C$ сумма углов при вершинах $C$ и $E$ равна $9 0^{\circ}$ , поэтому $∠ E H C = 9 0^{\circ}$ , то есть $A_{1} C ⊥ F E$ .

Кроме того, $A_{1} A$ — перпендикуляр к плоскости основания, $A_{1} C$ — наклонная, а $A C$ — её проекция. Так как $A C ⊥ K M$ , по теореме о трёх перпендикулярах $A_{1} C ⊥ K M$ .

Прямая $A_{1} C$ перпендикулярна двум пересекающимся (в точке $E$ ) прямым $F E$ и $K M$ плоскости $γ$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $A_{1} C ⊥ γ$ , что и требовалось доказать.

б) Основание пирамиды — трапеция $K M L P$ , вершина — $A_{1}$ . По пункту а) $A_{1} H ⊥ γ$ , где $H \in γ$ , поэтому $A_{1} H$ — высота пирамиды.

Из прямоугольного треугольника $A A_{1} C$ :

$A_{1} C = A A_{1}^{2} + A C^{2} = 16 + 128 = 12.$

Треугольники $A_{1} H F$ и $C H E$ подобны по двум углам: $A_{1} F ∥ E C$ (лежат на параллельных прямых $A_{1} C_{1}$ и $A C$ ), углы при вершине $H$ вертикальные. Поэтому

$\frac{A _{1} H}{H C} = \frac{A _{1} F}{C E} = \frac{13 2 /2}{5 2 /2} = \frac{13}{5}, A_{1} H = \frac{13}{18} A_{1} C = \frac{13}{18} \cdot 12 = \frac{26}{3} .$

Найдём высоту трапеции. Отрезок $F T$ перпендикулярен плоскости основания, поэтому $E T$ — проекция наклонной $F E$ , и она лежит на прямой $A C$ . Так как $A C ⊥ K M$ , по теореме о трёх перпендикулярах $F E ⊥ K M$ , а значит, и $F E ⊥ L P$ . Следовательно, $F E$ — высота трапеции. Из прямоугольного треугольника $F T E$ :

$F E = F T^{2} + E T^{2} = 16 + 2 = 32 .$

Площадь трапеции:

$S_{K M L P} = \frac{K M + L P}{2} \cdot F E = \frac{5 2 + 3 2}{2} \cdot 32 = 42 \cdot 32 = 24.$

Объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{K M L P} \cdot A_{1} H = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot \frac{26}{3} = \frac{208}{3} .$

Ответ: б) $\frac{208}{3}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15