ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — конусы

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ — центр основания конуса. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается, поэтому

$$\angle AOB=90^{\circ }.$$

Пусть $K$ — середина хорды $AB$. Треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA=OB$ — радиусы), поэтому его медиана $OK$ является высотой: $OK\perp AB$. Образующие конуса равны, $SA=SB$, поэтому в равнобедренном треугольнике $ASB$ медиана $SK$ тоже высота: $SK\perp AB$.

Значит, $\angle SKO$ — линейный угол двугранного угла между плоскостью $SAB$ и плоскостью основания. Высота $SO$ перпендикулярна основанию, поэтому треугольник $SOK$ прямоугольный, угол $SKO$ острый и равен углу между плоскостями.

Медиана прямоугольного треугольника $AOB$, проведённая к гипотенузе, равна её половине:

$$OK=\frac{1}{2}AB=4.$$

Из прямоугольного треугольника $SOK$:

$$\mathrm{tg}\angle SKO=\frac{SO}{OK}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\Rightarrow \angle SKO=60^{\circ }.$$

Значит, угол между плоскостью $SAB$ и плоскостью основания равен $60^{\circ }$, что и требовалось доказать.

б) Прямая $AB$ перпендикулярна $OK$ и $SO$ (так как $SO$ перпендикулярна плоскости основания). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $AB\perp (SOK)$.

Проведём в треугольнике $SOK$ высоту $OH$, $H\in SK$. Отрезок $OH$ лежит в плоскости $SOK$, поэтому $OH\perp AB$. Получаем, что $OH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $SK$ и $AB$ плоскости $SAB$, а значит, $OH\perp (SAB)$. Таким образом, $OH$ — искомое расстояние.

Из прямоугольного треугольника $OHK$ ($\angle OHK=90^{\circ }$, $\angle OKH=60^{\circ }$):

$$OH=OK\cdot \sin 60^{\circ }=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $2\sqrt{3}$.