В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 3, а боковое ребро… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2025 развёрнутое

В правильной треугольной пирамиде $S A B C$ сторона основания $A B$ равна 3, а боковое ребро $S A$ равно 5. На ребре $A C$ отмечена точка $M,$ а на продолжении ребра $B C$ за точку $C$ — точка $N$ так, что $C M = C N = 1.$

a) Докажите, что сечение пирамиды $S A B C$ плоскостью $S N M$ является равнобедренным треугольником.

б) Найдите площадь сечения пирамиды $S A B C$ плоскостью $S N M .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Построим сечение. Точки $N$ и $M$ лежат в плоскости основания. Прямая $N M$ проходит через внутреннюю точку $M$ стороны $A C$ и пересекает прямую $B C$ в точке $N$ вне отрезка $B C$ . Значит, со стороной $B C$ она больше не встречается и выходит из треугольника $A B C$ через сторону $A B$ — обозначим эту точку $K$ . Сечение пирамиды плоскостью $S N M$ — треугольник $S M K$ : его стороны $S M$ , $S K$ и $M K$ лежат в гранях $S A C$ , $S A B$ и в основании.

Найдём положение точки $K$ . Так как $N$ лежит на продолжении $B C$ за $C$ , то

$B N = B C + C N = 3 + 1 = 4, A M = A C - C M = 3 - 1 = 2.$

По теореме Менелая для треугольника $A B C$ и прямой $K M N$ :

$\frac{A K}{K B} \cdot \frac{B N}{N C} \cdot \frac{C M}{M A} = 1 \Rightarrow \frac{A K}{K B} \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{A K}{K B} = \frac{1}{2} .$

Так как $A K + K B = A B = 3$ , получаем $A K = 1$ , $K B = 2$ .

Докажем, что $S K = S M$ . Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, поэтому углы при их основаниях равны:

$∠ S A B = ∠ S C A .$

Сравним треугольники $S A K$ и $S C M$ :

$S A = S C = 5, A K = C M = 1, ∠ S A K = ∠ S C M .$

Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $S K = S M$ . Значит, сечение $S M K$ — равнобедренный треугольник, что и требовалось доказать.

б) Обозначим $α = ∠ S C A$ . Треугольник $S A C$ равнобедренный ( $S A = S C = 5$ ), его высота из $S$ падает в середину $A C$ , поэтому

$cos α = \frac{A C /2}{S C} = \frac{3/2}{5} = \frac{3}{10} .$

По теореме косинусов в треугольнике $S C M$ :

$S M^{2} = S C^{2} + C M^{2} - 2 \cdot S C \cdot C M \cdot cos α = 25 + 1 - 2 \cdot 5 \cdot 1 \cdot \frac{3}{10} = 23.$

Треугольник $A B C$ правильный, поэтому $∠ M A K = 6 0^{\circ}$ . По теореме косинусов в треугольнике $A M K$ ( $A M = 2$ , $A K = 1$ ):

$M K^{2} = A M^{2} + A K^{2} - 2 \cdot A M \cdot A K \cdot cos 6 0^{\circ} = 4 + 1 - 2 = 3, M K = 3 .$

Проведём высоту $S H$ равнобедренного треугольника $S M K$ к основанию $M K$ . Она является и медианой, поэтому $M H = \frac{3}{2}$ . По теореме Пифагора для треугольника $S H M$ :

$S H^{2} = S M^{2} - M H^{2} = 23 - \frac{3}{4} = \frac{89}{4}, S H = \frac{89}{2} .$

Площадь сечения:

$S_{S M K} = \frac{1}{2} \cdot M K \cdot S H = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{89}{2} = \frac{267}{4} .$

Ответ: б) $\frac{267}{4}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15