В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 8. На… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2016 развёрнутое

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ все рёбра равны 8. На рёбрах $A A_{1}$ и $C C_{1}$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $A M = 3,$ $C N = 1.$

а) Докажите, что плоскость $(M N B_{1})$ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра $M N B B_{1} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Точки $M$ и $N$ лежат на боковых рёбрах $A A_{1}$ и $C C_{1}$ , а $B_{1}$ — вершина призмы. Плоскость $M N B_{1}$ пересекает призму по треугольнику $M N B_{1}$ и делит её на два многогранника: пирамиду $B_{1} A_{1} C_{1} N M$ с вершиной $B_{1}$ и четырёхугольным основанием $A_{1} C_{1} N M$ в грани $A A_{1} C_{1} C$ и многогранник $A B C M N B_{1}$ . Достаточно показать, что объём пирамиды равен половине объёма призмы.

Призма правильная, поэтому она прямая, а в основании лежит правильный треугольник со стороной $8$ . Её объём

$V = S_{A B C} \cdot A A_{1} = \frac{8 ^{2} 3}{4} \cdot 8 = 1283 .$

Найдём высоту пирамиды $B_{1} A_{1} C_{1} N M$ . Проведём в треугольнике $A_{1} B_{1} C_{1}$ высоту $B_{1} H_{1}$ , то есть $B_{1} H_{1} ⊥ A_{1} C_{1}$ . Боковое ребро $A A_{1}$ перпендикулярно плоскости $A_{1} B_{1} C_{1}$ , поэтому $B_{1} H_{1} ⊥ A A_{1}$ . Прямая $B_{1} H_{1}$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A_{1} C_{1}$ и $A_{1} A$ плоскости $A A_{1} C_{1}$ , значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $B_{1} H_{1} ⊥ (A A_{1} C_{1})$ . Так что $B_{1} H_{1}$ — высота пирамиды. Это высота правильного треугольника со стороной $8$ :

$B_{1} H_{1} = \frac{8 3}{2} = 43 .$

Найдём площадь основания $A_{1} C_{1} N M$ . Отрезки $A_{1} M$ и $C_{1} N$ лежат на боковых рёбрах, поэтому параллельны и перпендикулярны $A_{1} C_{1}$ . Значит, $A_{1} C_{1} N M$ — прямоугольная трапеция с основаниями

$A_{1} M = A A_{1} - A M = 8 - 3 = 5, C_{1} N = C C_{1} - C N = 8 - 1 = 7$

и высотой $A_{1} C_{1} = 8$ :

$S_{A_{1} C_{1} N M} = \frac{5 + 7}{2} \cdot 8 = 48.$

Объём пирамиды:

$V_{B_{1} A_{1} C_{1} N M} = \frac{1}{3} \cdot S_{A_{1} C_{1} N M} \cdot B_{1} H_{1} = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 43 = 643 .$

Тогда объём второго многогранника

$V_{A B C M N B_{1}} = 1283 - 643 = 643 .$

Объёмы двух частей равны, что и требовалось доказать.

б) Проведём плоскость $B M N$ . Она разрезает многогранник $A B C M N B_{1}$ на тетраэдр $M N B B_{1}$ и пирамиду $B A C N M$ с вершиной $B$ и основанием $A C N M$ в грани $A A_{1} C_{1} C$ . Поэтому

$V_{M N B B_{1}} = V_{A B C M N B_{1}} - V_{B A C N M} .$

Объём пирамиды $B A C N M$ найдём так же, как в пункте а). Высота $B H$ правильного треугольника $A B C$ перпендикулярна $A C$ и $A A_{1}$ , то есть перпендикулярна плоскости $A A_{1} C_{1}$ , и равна $43$ . Основание $A C N M$ — прямоугольная трапеция с основаниями $A M = 3$ , $C N = 1$ и высотой $A C = 8$ :

$S_{A C N M} = \frac{3 + 1}{2} \cdot 8 = 16, V_{B A C N M} = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 43 = \frac{64 3}{3} .$

Следовательно,

$V_{M N B B_{1}} = 643 - \frac{64 3}{3} = \frac{128 3}{3} .$

Проверим результат другим способом. Примем за основание тетраэдра треугольник $B B_{1} N$ , лежащий в грани $B B_{1} C_{1} C$ . Расстояние от $N$ до прямой $B B_{1}$ равно расстоянию между параллельными прямыми $C C_{1}$ и $B B_{1}$ , то есть $B C = 8$ , поэтому $S_{B B_{1} N} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$ . Прямая $A A_{1}$ параллельна плоскости $B B_{1} C_{1}$ , поэтому расстояние от $M$ до этой плоскости равно высоте треугольника $A B C$ , проведённой из $A$ , то есть $43$ . Тогда

$V_{M N B B_{1}} = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 43 = \frac{128 3}{3} .$

Ответ: б) $\frac{128 3}{3}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15