В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD известно, что AB=1. Через… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя развёрнутое

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ известно, что $A B = 1$ . Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $S C$ провели плоскость $α$ .

а) Докажите, что плоскость $α$ проходит через вершины $B$ и $D$ .

б) В каком отношении плоскость $α$ делит ребро $S C$ , считая от вершины $S$ , если площадь сечения равна $\frac{2}{3} ?$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сечение BPD плоскостью α, перпендикулярной SC

а) Пирамида правильная, поэтому в основании лежит квадрат $A B C D$ , а высота $S O$ падает в его центр — точку пересечения диагоналей.

Докажем, что $B D ⊥ S C$ . Диагонали квадрата перпендикулярны: $B D ⊥ A C$ . Высота $S O$ перпендикулярна плоскости основания, значит, $B D ⊥ S O$ . Прямая $B D$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A C$ и $S O$ плоскости $S A C$ , поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $B D ⊥ (S A C)$ . Прямая $S C$ лежит в плоскости $S A C$ , следовательно, $B D ⊥ S C$ .

Проведём в плоскости $S A C$ перпендикуляр $O P$ к прямой $S C$ . Треугольник $S O C$ прямоугольный с прямым углом $O$ , а высота, проведённая из вершины прямого угла, падает на гипотенузу, поэтому $P$ лежит на ребре $S C$ .

Прямые $B D$ и $O P$ пересекаются в точке $O$ и обе перпендикулярны $S C$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $S C ⊥ (B P D)$ . Через точку $O$ проходит единственная плоскость, перпендикулярная прямой $S C$ . Плоскость $B P D$ проходит через $O$ и перпендикулярна $S C$ , значит, она совпадает с $α$ .

Итак, плоскость $α$ проходит через вершины $B$ и $D$ , что и требовалось доказать.

б) По пункту а) сечение пирамиды плоскостью $α$ — треугольник $B P D$ . Прямая $B D$ перпендикулярна плоскости $S A C$ , а отрезок $O P$ лежит в этой плоскости, поэтому $O P ⊥ B D$ , и $O P$ — высота треугольника $B P D$ .

Диагональ квадрата со стороной $1$ равна $B D = 2$ . Из площади сечения:

$S_{B P D} = \frac{1}{2} \cdot B D \cdot O P = \frac{2}{2} \cdot O P = \frac{2}{3} \Rightarrow O P = \frac{2}{3} .$

Половина диагонали: $O C = \frac{2}{2}$ . Из прямоугольного треугольника $O P C$ ( $∠ O P C = 9 0^{\circ}$ ) по теореме Пифагора

$C P = O C^{2} - O P^{2} = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{1}{18} = \frac{2}{6} .$

В прямоугольном треугольнике $S O C$ отрезок $O P$ — высота, проведённая к гипотенузе. Квадрат такой высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

$O P^{2} = S P \cdot P C \Rightarrow S P = \frac{O P ^{2}}{P C} = \frac{4}{9} \cdot \frac{6}{2} = \frac{8}{3 2} = \frac{4 2}{3} .$

Тогда

$S P : P C = \frac{4 2}{3} : \frac{2}{6} = 8 : 1.$

Ответ: б) $8 : 1$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15