ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Пусть $M$ — середина $BC$. Все стороны треугольников $ABC$ и $DBC$ равны $7$, значит, они правильные, и их медианы $AM$ и $DM$ являются высотами:

$$BC\perp AM,BC\perp DM.$$

Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $DM$ плоскости $AMD$, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $BC\perp (AMD)$. Прямая $AD$ лежит в плоскости $AMD$, следовательно, $BC\perp AD$, что и требовалось доказать.

б) Высоты правильных треугольников $ABC$ и $DBC$ со стороной $7$ равны:

$$AM=DM=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 7=\frac{7\sqrt{3}}{2}.$$

Пусть $N$ — середина $AD$. Треугольник $AMD$ равнобедренный ($AM=DM$), поэтому его медиана $MN$ является высотой: $MN\perp AD$. Кроме того, $MN$ лежит в плоскости $AMD$, перпендикулярной $BC$, поэтому $MN\perp BC$. Точка $N$ лежит на $AD$, точка $M$ — на $BC$, значит, $MN$ — общий перпендикуляр прямых $AD$ и $BC$, и расстояние между ними равно $MN$.

Так как $AN=\frac{1}{2}AD=2$, из прямоугольного треугольника $AMN$ по теореме Пифагора

$$MN=\sqrt{A{M}^2-A{N}^2}=\sqrt{\frac{147}{4}-4}=\sqrt{\frac{131}{4}}=\frac{\sqrt{131}}{2}.$$

Ответ: б) $\frac{\sqrt{131}}{2}$.