Дана прямая призма ABCA₁B₁C₁. ABC — равнобедренный треугольник с… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2023 развёрнутое

Дана прямая призма $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ . $A B C$ — равнобедренный треугольник с основанием $A B$ . На $A B$ отмечена точка $P$ такая, что $A P : P B = 3 : 1$ . Точка $Q$ делит пополам ребро $B_{1} C_{1}$ . Точка $M$ делит пополам ребро $B C$ . Через точку $M$ проведена плоскость $α$ , перпендикулярная $P Q$ .

а) Докажите, что прямая $A B$ параллельна плоскости $α$ .

б) Найдите отношение, в котором плоскость $α$ делит $P Q$ , если $A A_{1} = 5$ , $A B = 12$ , $cos ∠ A B C = \frac{3}{5}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $H$ — середина $A B$ . Треугольник $A B C$ равнобедренный с основанием $A B$ , поэтому медиана $C H$ является высотой: $C H ⊥ A B$ .

Рисунок к решению

Пусть $P B = x$ , тогда $A P = 3 x$ , $A B = 4 x$ , $H B = 2 x$ и $H P = H B - P B = x$ . Значит, $P$ — середина $H B$ . В треугольнике $H B C$ точки $P$ и $M$ — середины сторон $H B$ и $B C$ , поэтому $P M$ — средняя линия:

$P M ∥ H C, P M ⊥ A B .$

Призма прямая, $B C C_{1} B_{1}$ — прямоугольник, и отрезок $QM$ , соединяющий середины его противоположных сторон, параллелен $B B_{1}$ . Значит, $QM ⊥ (A B C)$ , $M$ — проекция точки $Q$ на основание, а $P M$ — проекция наклонной $P Q$ . Так как $P M ⊥ A B$ , по теореме о трёх перпендикулярах

$P Q ⊥ A B .$

Сечение плоскостью α через M, перпендикулярной PQ

Проведём через $M$ прямую $M N ∥ A B$ , $N \in A C$ (это средняя линия треугольника $A B C$ ). Тогда $M N ⊥ P Q$ . Через точку $M$ проходит единственная плоскость, перпендикулярная $P Q$ , — плоскость $α$ , и она содержит все прямые, проходящие через $M$ перпендикулярно $P Q$ . Значит, $M N \subset α$ .

Прямая $A B$ не лежит в $α$ : иначе точка $P$ лежала бы в $α$ , прямая $M P$ лежала бы в $α$ и была бы перпендикулярна $P Q$ . Но в треугольнике $P M Q$ угол $M$ прямой ( $QM ⊥ (A B C)$ ), поэтому угол $P$ острый. Итак, $A B$ параллельна прямой $M N$ плоскости $α$ и не лежит в ней, и по признаку параллельности прямой и плоскости $A B ∥ α$ , что и требовалось доказать.

б) Пусть $R$ — точка пересечения плоскости $α$ с отрезком $P Q$ . Прямая $M R$ лежит в $α$ , а $α ⊥ P Q$ , поэтому $M R ⊥ P Q$ , то есть $M R$ — высота прямоугольного треугольника $P M Q$ , проведённая к гипотенузе.

Рисунок к решению

Так как $A B = 12$ , то $H B = 6$ и $P B = 3$ . Треугольник $B P M$ прямоугольный ( $P M ⊥ A B$ ), поэтому

$cos ∠ A B C = \frac{P B}{B M} = \frac{3}{5} \Rightarrow B M = 5,$

$P M = B M^{2} - P B^{2} = 25 - 9 = 4.$

Кроме того, $QM = B B_{1} = A A_{1} = 5$ . По теореме Пифагора в треугольнике $P M Q$

$P Q = P M^{2} + Q M^{2} = 16 + 25 = 41 .$

Высота, проведённая к гипотенузе, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

$M R = \frac{P M \cdot QM}{P Q} = \frac{20}{41} .$

Из прямоугольных треугольников $P M R$ и $QM R$ по теореме Пифагора

$P R^{2} = P M^{2} - M R^{2} = 16 - \frac{400}{41} = \frac{256}{41}, P R = \frac{16}{41},$

$R Q^{2} = Q M^{2} - M R^{2} = 25 - \frac{400}{41} = \frac{625}{41}, R Q = \frac{25}{41} .$

Значит, $P R : R Q = 16 : 25$ , считая от точки $P$ .

Ответ: б) $16 : 25$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15