ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Пирамида правильная, поэтому треугольник $ABC$ правильный, а проекция $O$ вершины $M$ на плоскость основания — его центр, то есть точка пересечения медиан. Пусть $D$ — середина $AC$; точка $O$ лежит на медиане $BD$ и делит её в отношении $2:1$, считая от вершины:

$$OD=\frac{1}{3}BD.$$

Отрезок $PQ$ — средняя линия треугольника $MAC$, поэтому $PQ\parallel AC$. Пусть $H$ — точка пересечения $PQ$ с медианой $MD$ треугольника $MAC$. Так как $QH\parallel CD$, треугольники $MQH$ и $MCD$ подобны с коэффициентом $\frac{MQ}{MC}=\frac{1}{2}$, значит, $H$ — середина $MD$.

Пусть $H^{\prime }$ — проекция точки $H$ на плоскость $ABC$. Плоскость $\pi$ перпендикулярна плоскости $ABC$ и содержит точку $H$, а прямая, проведённая через точку одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно другой плоскости, лежит в первой. Поэтому $H{H}^{\prime }\subset \pi$ и $H^{\prime }\in \pi$.

Прямые $H{H}^{\prime }$ и $MO$ перпендикулярны основанию, значит, параллельны, и $H{H}^{\prime }$ лежит в плоскости $MOD$. Поэтому $H^{\prime }$ лежит на прямой $OD$, то есть на медиане $BD$. Прямоугольные треугольники $MDO$ и $HD{H}^{\prime }$ подобны по общему острому углу $D$:

$$\frac{D{H}^{\prime }}{DO}=\frac{DH}{DM}=\frac{1}{2}\Rightarrow D{H}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}BD=\frac{1}{6}BD.$$

Точка $H^{\prime }$ — общая точка плоскости $\pi$ и медианы $BD$. Тогда $B{H}^{\prime }=\frac{5}{6}BD$, и

$$B{H}^{\prime }:H^{\prime }D=5:1,$$

что и требовалось доказать.

б) Прямая $PQ$ параллельна прямой $AC$ плоскости основания и не лежит в ней, поэтому $PQ\parallel (ABC)$. Плоскость $\pi$ проходит через $PQ$ и пересекает основание по прямой $\ell$, параллельной $PQ$, то есть $\ell \parallel AC$; прямая $\ell$ проходит через $H^{\prime }$.

Прямая $AC$ параллельна прямой $PQ$ плоскости $\pi$ и не лежит в $\pi$ (иначе точка $D$ лежала бы на $\ell$ и совпала бы с $H^{\prime }$, а $D{H}^{\prime }\ne 0$). По признаку параллельности прямой и плоскости $AC\parallel \pi$, поэтому все точки прямой $AC$ удалены от $\pi$ на одно и то же расстояние:

$$\rho (C;\pi )=\rho (D;\pi ).$$

Медиана $BD$ правильного треугольника является высотой: $BD\perp AC$, а значит, $D{H}^{\prime }\perp \ell$. Плоскости $\pi$ и $ABC$ перпендикулярны, $\ell$ — линия их пересечения, а прямая $D{H}^{\prime }$ лежит в плоскости $ABC$ и перпендикулярна $\ell$. По свойству перпендикулярных плоскостей $D{H}^{\prime }\perp \pi$, и искомое расстояние равно $D{H}^{\prime }$.

Найдём $BD$ из прямоугольного треугольника $BDC$:

$$BD=\sqrt{B{C}^2-C{D}^2}=\sqrt{17^2-{\left(\frac{17}{2}\right)}^2}=\frac{17\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$\rho (C;\pi )=D{H}^{\prime }=\frac{1}{6}\cdot \frac{17\sqrt{3}}{2}=\frac{17\sqrt{3}}{12}.$$

Ответ: б) $\frac{17\sqrt{3}}{12}$.