ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Все грани правильного тетраэдра — правильные треугольники. Проведём медианы $AM$ и $BM$ в треугольниках $ADC$ и $BDC$. В правильном треугольнике медиана является высотой, поэтому

$$AM\perp DC,BM\perp DC.$$

Прямая $DC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $BM$ плоскости $AMB$, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $DC\perp (AMB)$. Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности $AB$. Итак, $AB\perp CD$, что и требовалось доказать.

б) Обозначим ребро тетраэдра через $a$.

Так как $DA=DB=DC$, основание перпендикуляра из $D$ на плоскость $ABC$ равноудалено от $A$, $B$, $C$, то есть совпадает с центром $H$ грани $ABC$. Значит, $DH\perp (ABC)$.

Опустим из $M$ перпендикуляр $MG$ на плоскость $ABC$. Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны, поэтому $MG\parallel DH$. Следовательно, угол между прямыми $DH$ и $BM$ равен углу между прямыми $MG$ и $BM$, то есть углу $GMB$.

Прямая $MG$ проходит через точку $M$ плоскости $DHC$ параллельно прямой $DH$ этой плоскости, поэтому лежит в ней, и точка $G$ лежит на прямой $HC$. В треугольнике $DHC$ отрезок $MG$ параллелен $DH$ и проходит через середину $M$ стороны $DC$, значит, по теореме Фалеса $G$ — середина $HC$.

Пусть $CF$ — медиана треугольника $ABC$, $CF=\frac{\sqrt{3}}{2}a$. Центр $H$ — точка пересечения медиан, он делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины: $CH=\frac{2}{3}CF$. Тогда

$$GC=\frac{1}{2}CH=\frac{1}{3}CF=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$

Треугольник $MGC$ прямоугольный ($MG\perp (ABC)$), $MC=\frac{a}{2}$. По теореме Пифагора

$$MG=\sqrt{M{C}^2-G{C}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{12}}=\sqrt{\frac{a^2}{6}}=\frac{a}{\sqrt{6}}.$$

Отрезок $MB$ — высота правильного треугольника $DCB$, поэтому $MB=\frac{\sqrt{3}}{2}a$. Треугольник $GMB$ прямоугольный с прямым углом $G$, и

$$\cos \angle GMB=\frac{MG}{MB}=\frac{\frac{a}{\sqrt{6}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}=\frac{2}{\sqrt{18}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\Rightarrow \angle GMB=\arccos \frac{\sqrt{2}}{3}.$$

Ответ: б) $\arccos \frac{\sqrt{2}}{3}$.