На ребрах BC, AB и AD правильного тетраэдра ABCD отмечены точки L, M и N соответственно. Известно, что AM:MB=BL:LC=AN:ND=1:3. а)… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2025 развёрнутое

На ребрах $B C,$ $A B$ и $A D$ правильного тетраэдра $A B C D$ отмечены точки $L,$ $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $A M : M B = B L : L C = A N : N D = 1 : 3.$

а) Докажите, что плоскость $α,$ проходящая через точки $L,$ $M$ и $N,$ делит ребро $C D$ в отношении $3 : 1,$ считая от вершины $C .$

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $A B C D$ плоскостью $α,$ если $A B = 8.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) По условию $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A D} = \frac{1}{4}$ . По теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, в треугольнике $A B D$

$M N ∥ B D .$

Прямая $M N$ параллельна прямой $B D$ плоскости $B C D$ и не лежит в этой плоскости, поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости $M N ∥ (B C D)$ . Плоскость $α$ проходит через $M N$ и пересекает плоскость $B C D$ (у них есть общая точка $L$ ). Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой. Значит, $α$ пересекает грань $B C D$ по прямой, проходящей через $L$ параллельно $M N$ , то есть параллельно $B D$ .

Пусть эта прямая пересекает ребро $C D$ в точке $K$ ; это и есть точка пересечения $α$ с $C D$ . Так как $L K ∥ B D$ , по теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике $C B D$

$C K : K D = C L : L B = 3 : 1,$

что и требовалось доказать.

б) Все рёбра правильного тетраэдра равны $8$ , а все его грани — правильные треугольники. Сечение — четырёхугольник $M N K L$ : плоскость $α$ пересекает грани $A B D$ , $A C D$ , $B C D$ , $A B C$ по отрезкам $M N$ , $N K$ , $K L$ , $L M$ . Из отношений $1 : 3$ и $3 : 1$ получаем

$A M = A N = B L = K D = 2, M B = N D = L C = C K = 6.$

Так как $M N ∥ B D$ , треугольник $A M N$ подобен треугольнику $A B D$ с коэффициентом $\frac{A M}{A B} = \frac{1}{4}$ :

$M N = \frac{1}{4} B D = 2.$

Так как $L K ∥ B D$ , треугольник $C L K$ подобен треугольнику $C B D$ с коэффициентом $\frac{C L}{C B} = \frac{3}{4}$ :

$L K = \frac{3}{4} B D = 6.$

Треугольники $M B L$ и $N D K$ равны по двум сторонам и углу между ними: $M B = N D = 6$ , $B L = D K = 2$ , $∠ M B L = ∠ N D K = 6 0^{\circ}$ . Значит, $M L = N K$ . Так как $M N ∥ L K$ и $M N \neq = L K$ , сечение $M N K L$ — трапеция с равными боковыми сторонами, то есть равнобедренная трапеция с основаниями $M N = 2$ и $L K = 6$ .

Найдём боковую сторону по теореме косинусов в треугольнике $N D K$ :

$N K^{2} = N D^{2} + D K^{2} - 2 \cdot N D \cdot D K \cdot cos 6 0^{\circ} = 36 + 4 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 28, N K = 27 .$

Проведём высоты $M R$ и $N T$ трапеции на основание $L K$ . В равнобедренной трапеции

$L R = T K = \frac{L K - M N}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2.$

Из прямоугольного треугольника $M L R$ по теореме Пифагора

$M R = L M^{2} - L R^{2} = 28 - 4 = 26 .$

Площадь сечения:

$S_{M N K L} = \frac{M N + L K}{2} \cdot M R = \frac{2 + 6}{2} \cdot 26 = 86 .$

Ответ: б) $86$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15