ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) В правильном треугольнике $ABC$ медиана $AM$ является высотой: $AM\perp BC$. Боковые рёбра правильной пирамиды равны, поэтому треугольник $SBC$ равнобедренный и его медиана $SM$ тоже является высотой: $SM\perp BC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $BC\perp (SAM)$.

Проведём в треугольнике $SAM$ высоту $AQ$ к стороне $SM$. Прямая $AQ$ лежит в плоскости $SAM$, поэтому $AQ\perp BC$; кроме того, $AQ\perp SM$. Прямые $BC$ и $SM$ пересекаются и лежат в плоскости $SBC$, значит, $AQ\perp (SBC)$. Из точки на плоскость можно опустить только один перпендикуляр, поэтому $AQ$ совпадает с $AT$, и точка $T$ лежит на отрезке $SM$.

Пирамида правильная, поэтому основание $H$ её высоты — центр треугольника $ABC$, то есть точка пересечения его медиан. Из прямоугольного треугольника $SAH$ по теореме Пифагора

$$AH=\sqrt{S{A}^2-S{H}^2}=\sqrt{90-50}=2\sqrt{10}.$$

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины, поэтому

$$AM=\frac{3}{2}AH=3\sqrt{10}=AS.$$

Значит, треугольник $SAM$ равнобедренный с основанием $SM$, и его высота $AT$ является медианой. Следовательно, $T$ — середина $SM$, что и требовалось доказать.

б) Проведём в плоскости $SBC$ перпендикуляр $TP$ к прямой $SB$. Так как $AT\perp (SBC)$, а $TP$ лежит в этой плоскости, то $TP\perp AT$. Кроме того, $TP\perp SB$. Значит, $TP$ — общий перпендикуляр прямых $AT$ и $SB$, и искомое расстояние равно $TP$.

Найдём стороны треугольника $SBM$. Из прямоугольного треугольника $ABM$

$$AB=\frac{AM}{\sin 60^{\circ }}=\frac{3\sqrt{10}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{6\sqrt{10}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{30},BM=\frac{1}{2}BC=\sqrt{30}.$$

Боковое ребро $SB=SA=3\sqrt{10}$. Треугольник $SBM$ прямоугольный с прямым углом $M$, по теореме Пифагора

$$SM=\sqrt{S{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{90-30}=2\sqrt{15}.$$

Пусть $MR$ — высота треугольника $SBM$, проведённая к гипотенузе $SB$. Она равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

$$MR=\frac{BM\cdot SM}{SB}=\frac{\sqrt{30}\cdot 2\sqrt{15}}{3\sqrt{10}}=\frac{2\cdot 15\sqrt{2}}{3\sqrt{10}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}.$$

Прямые $TP$ и $MR$ лежат в одной плоскости и перпендикулярны $SB$, поэтому $TP\parallel MR$. Так как $T$ — середина $SM$, отрезок $TP$ — средняя линия треугольника $SRM$:

$$TP=\frac{1}{2}MR=\sqrt{5}.$$

Ответ: б) $\sqrt{5}$.