В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы сложная развёрнутое

В основании прямой призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ лежит равнобедренный треугольник $A B C$ с основанием $A B$ . Точка $P$ делит ребро $A B$ в отношении $A P : P B = 1 : 3$ , а точка $Q$ — середина ребра $A_{1} C_{1}$ .
Через середину $M$ ребра $B C$ провели плоскость $α$ , перпендикулярную отрезку $P Q$ .

а) Докажите, что плоскость $α$ параллельна ребру $A B$ .

б) Найдите отношение, в котором плоскость $α$ делит отрезок $P Q$ , считая от точки $P$ , если известно, что $A B = A A_{1}$ , $A B : B C = 2 : 5$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $A B = 4 x$ , тогда $A P = x$ , $P B = 3 x$ . Пусть $H$ — середина $A B$ ; так как треугольник $A B C$ равнобедренный с основанием $A B$ , его медиана $C H$ является высотой: $C H ⊥ A B$ . При этом $A H = 2 x$ , $P H = A H - A P = x$ , то есть $P$ — середина $A H$ .

Сечение плоскостью α через M, перпендикулярной PQ

Пусть $N$ — середина $A C$ . Призма прямая, поэтому $A A_{1} C_{1} C$ — прямоугольник, и отрезок $QN$ , соединяющий середины его противоположных сторон, параллелен $A A_{1}$ . Значит, $QN ⊥ (A B C)$ , и $N$ — проекция точки $Q$ на плоскость основания.

Рисунок к решению

В треугольнике $A H C$ отрезок $N P$ соединяет середины сторон $A C$ и $A H$ , то есть является средней линией: $N P ∥ C H$ . Так как $C H ⊥ A B$ , то $N P ⊥ A B$ .

Отрезок $N P$ — проекция наклонной $QP$ на плоскость основания, и $N P ⊥ A B$ . По теореме о трёх перпендикулярах $P Q ⊥ A B$ .

Отрезок $M N$ — средняя линия треугольника $A B C$ , поэтому $M N ∥ A B$ , а значит, $M N ⊥ P Q$ .

Через точку $M$ проходит единственная плоскость, перпендикулярная $P Q$ , и она содержит все прямые, проходящие через $M$ перпендикулярно $P Q$ . Это плоскость $α$ , поэтому прямая $M N$ лежит в $α$ .

Прямая $A B$ в плоскости $α$ не лежит: иначе $α$ содержала бы точки $A$ , $B$ , $M$ и совпала бы с плоскостью $A B C$ , и тогда через точку $Q$ проходили бы два разных перпендикуляра $QN$ и $QP$ к плоскости $A B C$ , что невозможно. Итак, $A B$ параллельна прямой $M N$ , лежащей в $α$ , и по признаку параллельности прямой и плоскости $α ∥ A B$ , что и требовалось доказать.

б) Точка $N$ лежит на прямой $M N \subset α$ . Пусть $F$ — точка пересечения плоскости $α$ с отрезком $P Q$ . Прямая $N F$ лежит в $α$ , а $α ⊥ P Q$ , поэтому $N F ⊥ P Q$ . Так как $QN ⊥ (A B C)$ , треугольник $P N Q$ прямоугольный с прямым углом $N$ , и $N F$ — его высота, проведённая к гипотенузе $P Q$ ; её основание $F$ лежит на гипотенузе.

Рисунок к решению

Найдём катеты. По условию $A B = A A_{1} = 4 x$ и $A B : B C = 2 : 5$ , поэтому $B C = A C = 10 x$ и $A N = 5 x$ . Треугольник $A P N$ прямоугольный ( $N P ⊥ A B$ ), по теореме Пифагора

$N P^{2} = A N^{2} - A P^{2} = 25 x^{2} - x^{2} = 24 x^{2} .$

Кроме того, $N Q = A A_{1} = 4 x$ , то есть $N Q^{2} = 16 x^{2}$ .

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу: $N P^{2} = P F \cdot P Q$ , $N Q^{2} = F Q \cdot P Q$ . Поделив эти равенства, получаем

$\frac{P F}{F Q} = \frac{N P ^{2}}{N Q ^{2}} = \frac{24 x ^{2}}{16 x ^{2}} = \frac{3}{2} .$

Ответ: б) $3 : 2$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15