Дан правильный тетраэдр ABCD. Точки M и N — середины ребер AB и CD соответственно. Плоскость α параллельна прямым AB и CD… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды сложная 2024 развёрнутое

Дан правильный тетраэдр $A B C D .$ Точки $M$ и $N$ — середины ребер $A B$ и $C D$ соответственно. Плоскость $α$ параллельна прямым $A B$ и $C D,$ пересекает прямую $M N$ в точке $K,$ а ребро $A C$ в точке $L .$

а) Докажите, что прямая $M N$ перпендикулярна плоскости $α .$

б) Найдите $A L,$ если известно, что $M K = 2,$ $K N = 3.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: правильный тетраэдр $A B C D$ , отрезок $M N$ соединяет середины противоположных рёбер $A B$ и $C D$ ; плоскость $α$ пересекает тетраэдр между этими рёбрами.

а) Все грани правильного тетраэдра — равные правильные треугольники. Отрезки $A N$ и $B N$ — медианы правильных треугольников $A C D$ и $B C D$ с общей стороной $C D$ , поэтому $A N = B N$ . В равнобедренном треугольнике $A B N$ медиана $N M$ , проведённая к основанию, является высотой: $M N ⊥ A B$ . Аналогично $C M = D M$ как медианы треугольников $A B C$ и $A B D$ , и в равнобедренном треугольнике $C M D$ медиана $M N$ является высотой: $M N ⊥ C D$ .

Плоскость $α$ параллельна прямой $A B$ и проходит через точку $L$ , поэтому прямая, проведённая через $L$ параллельно $A B$ , лежит в $α$ . Проведём её в грани $A B C$ : $L P ∥ A B$ , $P \in B C$ . Точно так же прямая $L R ∥ C D$ , $R \in A D$ , лежит в $α$ .

Прямые $L P$ и $L R$ пересекаются в точке $L$ и различны, так как $A B$ и $C D$ — скрещивающиеся прямые. Так как $M N ⊥ A B$ и $L P ∥ A B$ , то $M N ⊥ L P$ ; так как $M N ⊥ C D$ и $L R ∥ C D$ , то $M N ⊥ L R$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $M N ⊥ α$ . Что и требовалось доказать.

б) Проведём в грани $B C D$ отрезок $P T ∥ C D$ , $T \in B D$ ; он тоже лежит в $α$ . Пусть $O$ — точка пересечения $L R$ и медианы $A N$ грани $A C D$ , а $Q$ — точка пересечения $P T$ и медианы $B N$ грани $B C D$ .

Точки $O$ и $Q$ лежат и в плоскости $α$ , и в плоскости $A B N$ , поэтому эти плоскости пересекаются по прямой $O Q$ . Плоскость $A B N$ проходит через прямую $A B$ , параллельную $α$ , значит, $O Q ∥ A B$ . Точка $K$ лежит в $α$ и на прямой $M N$ , которая лежит в плоскости $A B N$ , поэтому $K \in O Q$ .

Точки $O$ и $Q$ лежат на отрезках $N A$ и $N B$ , поэтому отрезок $O Q$ пересекает отрезок $N M$ во внутренней точке — это и есть $K$ . Значит, $K$ лежит на отрезке $M N$ , и $M N = M K + K N = 5$ .

В угле $A N M$ прямые $O K$ и $A M$ параллельны, по теореме о пропорциональных отрезках

$\frac{A O}{O N} = \frac{M K}{K N} = \frac{2}{3} .$

В грани $A C D$ прямая $L O$ параллельна $C N$ (так как $L R ∥ C D$ ), поэтому в угле $C A N$ по той же теореме

$\frac{A L}{L C} = \frac{A O}{O N} = \frac{2}{3} \Rightarrow A L = \frac{2}{5} A C .$

Осталось найти ребро тетраэдра $a$ . Треугольник $B M N$ прямоугольный ( $M N ⊥ A B$ ), в нём $M B = \frac{a}{2}$ , а $B N = \frac{a 3}{2}$ как высота правильного треугольника. По теореме Пифагора

$M N = B N^{2} - M B^{2} = \frac{3 a ^{2}}{4} - \frac{a ^{2}}{4} = \frac{a}{2} .$

Из $\frac{a}{2} = 5$ получаем $a = 52$ . Тогда

$A L = \frac{2}{5} \cdot 52 = 22 .$

Ответ: б) $22$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15