В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точки M и K — середины рёбер AB и SD соответственно. а) Докажите, что прямая MK… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя развёрнутое

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $A B$ и $S D$ соответственно.

а) Докажите, что прямая $M K$ параллельна плоскости $S B C$ .

б) Найдите высоту пирамиды, если $A B = 24$ , а угол между прямой $M K$ и плоскостью основания пирамиды равен $3 0^{\circ}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Отрезок MK, его проекция MK′ и прямая BQ

а) Пусть $Q$ — середина ребра $S C$ . Отрезок $K Q$ соединяет середины сторон $S D$ и $S C$ треугольника $S D C$ , то есть является его средней линией: $K Q ∥ D C$ и $K Q = \frac{1}{2} D C$ , причём $K Q = \frac{1}{2} D C$ .

Основание правильной пирамиды — квадрат $A B C D$ , поэтому $A B = D C$ . Точка $M$ — середина $A B$ , значит, $M B = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} D C = K Q$ . Отрезки $M B$ и $K Q$ параллельны, равны и сонаправлены, поэтому $M B Q K$ — параллелограмм, и $M K ∥ B Q$ .

Прямая $B Q$ лежит в плоскости $S B C$ , а прямая $M K$ в этой плоскости не лежит: точка $M$ лежит на прямой $A B$ , которая пересекает плоскость $S B C$ только в точке $B$ , а $M \neq = B$ . По признаку параллельности прямой и плоскости $M K ∥ (S B C)$ . Что и требовалось доказать.

б) Пусть $O$ — центр квадрата $A B C D$ . Пирамида правильная, поэтому $S O$ — её высота, $S O ⊥ (A B C)$ .

Опустим из $K$ перпендикуляр $K K^{'}$ на плоскость основания. Прямые $K K^{'}$ и $S O$ перпендикулярны одной плоскости, поэтому параллельны, и $K K^{'}$ лежит в плоскости $S O D$ , а $K^{'}$ — на отрезке $O D$ . Так как $K$ — середина $S D$ , по теореме Фалеса $K^{'}$ — середина $O D$ , а $K K^{'}$ — средняя линия треугольника $S O D$ :

$K K^{'} = \frac{1}{2} S O .$

$M K^{'}$ — проекция наклонной $M K$ на плоскость основания, поэтому угол между прямой $M K$ и плоскостью основания — это угол $K M K^{'}$ , и $∠ K M K^{'} = 3 0^{\circ}$ .

Найдём $M K^{'}$ в треугольнике $M B K^{'}$ . Диагональ квадрата $B D = A B 2 = 242$ , точка $O$ — её середина, поэтому $B O = O D = 122$ , $O K^{'} = 62$ и

$B K^{'} = B O + O K^{'} = 122 + 62 = 182 .$

Кроме того, $M B = \frac{A B}{2} = 12$ , а $∠ M B K^{'} = ∠ A B D = 4 5^{\circ}$ , так как диагональ квадрата делит его угол пополам. По теореме косинусов:

$M K^{'2} = M B^{2} + B K^{'2} - 2 \cdot M B \cdot B K^{'} \cdot cos 4 5^{\circ} = 144 + 648 - 2 \cdot 12 \cdot 182 \cdot \frac{2}{2} = 792 - 432 = 360,$

откуда $M K^{'} = 610$ .

Треугольник $K K^{'} M$ прямоугольный ( $K K^{'} ⊥ (A B C)$ , значит, $K K^{'} ⊥ M K^{'}$ ). В нём

$K K^{'} = M K^{'} \cdot tg 3 0^{\circ} = 610 \cdot \frac{1}{3} = \frac{6 30}{3} = 230 .$

Тогда высота пирамиды

$S O = 2 K K^{'} = 430 .$

Ответ: б) $430$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15