ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: пирамида $SABC$, точки $K$ и $M$ — середины $AB$ и $SC$, точка $L$ на $SA$ ближе к $S$, точка $N$ на $BC$; прямые $NL$ и $MK$ пересекаются внутри пирамиды.

а) Прямые $NL$ и $MK$ пересекаются, поэтому через них проходит единственная плоскость; обозначим её $\beta$. Все четыре точки $K$, $L$, $M$, $N$ лежат в $\beta$.

Прямые $KL$ и $SB$ лежат в одной плоскости $SAB$. Докажем, что они не параллельны. Если бы $KL\parallel SB$, то в треугольнике $SAB$ прямая $KL$ проходила бы через середину $K$ стороны $AB$ параллельно стороне $SB$, и по теореме Фалеса точка $L$ была бы серединой $SA$. Но по условию $AL=4LS$, то есть $L$ — не середина. Противоречие. Значит, прямые $KL$ и $SB$ пересекаются; обозначим точку пересечения $T$.

Точка $T$ лежит на прямой $KL$, поэтому принадлежит плоскости $\beta$. Кроме того, $T$ лежит на прямой $SB$, поэтому принадлежит плоскости $SBC$.

Плоскости $\beta$ и $SBC$ различны: точка $K$ лежит в $\beta$, но не лежит в плоскости $SBC$ (прямая $AB$ пересекает эту плоскость только в точке $B$). Обе плоскости содержат различные точки $M$ и $N$, поэтому пересекаются по прямой $MN$. Точка $T$ — общая точка этих плоскостей, значит, $T$ лежит на прямой $MN$.

Итак, точка $T$ лежит на каждой из прямых $LK$, $MN$ и $BS$, то есть эти прямые пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.

б) Воспользуемся теоремой Менелая: если прямая пересекает стороны треугольника $XYZ$ или их продолжения в точках $X^{\prime }\in YZ$, $Y^{\prime }\in ZX$, $Z^{\prime }\in XY$, то

$$\frac{X{Z}^{\prime }}{Z^{\prime }Y}\cdot \frac{Y{X}^{\prime }}{X^{\prime }Z}\cdot \frac{Z{Y}^{\prime }}{Y^{\prime }X}=1.$$

Применим её к треугольнику $ASB$ и прямой $KL$, которая пересекает $AB$ в точке $K$, $SA$ в точке $L$ и прямую $SB$ в точке $T$. По условию $AK=KB$ и $AL:LS=4:1$:

$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BT}{TS}\cdot \frac{SL}{LA}=1\Rightarrow 1\cdot \frac{BT}{TS}\cdot \frac{1}{4}=1\Rightarrow \frac{BT}{TS}=4.$$

Прямая пересекает две стороны треугольника во внутренних точках $K$ и $L$, поэтому третью сторону она пересекает на продолжении: точка $T$ лежит на продолжении ребра $BS$ за точку $S$.

Теперь применим теорему Менелая к треугольнику $SBC$ и прямой $MN$, которая проходит через точку $T$ на прямой $SB$, точку $N$ на $BC$ и точку $M$ на $CS$. Так как $M$ — середина $SC$, то $CM=MS$:

$$\frac{ST}{TB}\cdot \frac{BN}{NC}\cdot \frac{CM}{MS}=1\Rightarrow \frac{1}{4}\cdot \frac{BN}{NC}\cdot 1=1\Rightarrow \frac{BN}{NC}=4.$$

Значит, $CN:NB=1:4$.

Ответ: б) $1:4$.