В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на рёбрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что A₁M=2MA… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя развёрнутое

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $A A_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ соответственно. Известно, что $A_{1} M = 2 M A$ , $A_{1} K = K B_{1}$ . Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $α$ перпендикулярно грани $A B B_{1} A_{1}$ .

а) Докажите, что плоскость $α$ проходит через вершину $C_{1}$ .

б) Найдите площадь сечения призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью $α$ , если все рёбра призмы равны $12$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сечение MKC₁

а) Призма правильная, поэтому боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований, а основания — правильные треугольники.

$K$ — середина $A_{1} B_{1}$ , поэтому $C_{1} K$ — медиана правильного треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ , а значит, и его высота: $C_{1} K ⊥ A_{1} B_{1}$ . Кроме того, $A A_{1} ⊥ (A_{1} B_{1} C_{1})$ , поэтому $A A_{1} ⊥ C_{1} K$ . Прямые $A_{1} B_{1}$ и $A A_{1}$ пересекаются и лежат в плоскости грани $A B B_{1} A_{1}$ , значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $C_{1} K ⊥ (A B B_{1} A_{1})$ .

Точки $M$ и $K$ лежат и в плоскости $α$ , и в плоскости $A B B_{1} A_{1}$ , поэтому эти плоскости пересекаются по прямой $M K$ . Проведём в плоскости $α$ через точку $K$ прямую $l ⊥ M K$ . По свойству перпендикулярных плоскостей прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости. Значит, $l ⊥ (A B B_{1} A_{1})$ .

Но через точку $K$ проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскости $A B B_{1} A_{1}$ , и это прямая $K C_{1}$ . Поэтому $l$ совпадает с $K C_{1}$ , то есть прямая $K C_{1}$ лежит в плоскости $α$ и $C_{1} \in α$ . Что и требовалось доказать.

б) Плоскость $α$ проходит через точки $M$ , $K$ и $C_{1}$ . Отрезок $M K$ лежит в грани $A A_{1} B_{1} B$ , отрезок $K C_{1}$ — в основании $A_{1} B_{1} C_{1}$ , отрезок $C_{1} M$ — в грани $A A_{1} C_{1} C$ . Значит, сечение призмы — треугольник $M K C_{1}$ .

Все рёбра равны 12. Из $A_{1} M = 2 M A$ и $A_{1} M + M A = A A_{1} = 12$ получаем $A_{1} M = 8$ ; кроме того, $A_{1} K = \frac{12}{2} = 6$ . Треугольник $M A_{1} K$ прямоугольный ( $A A_{1} ⊥ A_{1} B_{1}$ ), по теореме Пифагора

$M K = A_{1} M^{2} + A_{1} K^{2} = 64 + 36 = 10.$

$C_{1} K$ — высота правильного треугольника со стороной 12:

$C_{1} K = \frac{12 3}{2} = 63 .$

По пункту а) $C_{1} K ⊥ (A B B_{1} A_{1})$ , а прямая $M K$ лежит в этой плоскости, поэтому $C_{1} K ⊥ M K$ , и треугольник $M K C_{1}$ прямоугольный с прямым углом $K$ . Его площадь равна половине произведения катетов:

$S_{M K C_{1}} = \frac{1}{2} \cdot M K \cdot C_{1} K = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 63 = 303 .$

Ответ: б) $303$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15