ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: треугольник $ABC$ в плоскости основания и вертикальный отрезок $PC$ — высота пирамиды; боковые рёбра $PA$ и $PB$.

а) По условию высота пирамиды, опущенная из вершины $P$, падает в точку $C$, то есть $PC\perp (ABC)$. Тогда $PC$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, $PA$ — наклонная, а $CA$ — проекция наклонной $PA$ на эту плоскость.

Прямая $BC$ лежит в плоскости $ABC$ и по условию перпендикулярна наклонной $PA$. По теореме о трёх перпендикулярах (обратной): если прямая, проведённая в плоскости, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции. Значит, $BC\perp CA$, то есть $\angle ACB=90^{\circ }$, и треугольник $ABC$ прямоугольный. Что и требовалось доказать.

б) Так как $PC\perp (ABC)$, прямая $PC$ перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности $PC\perp CA$ и $PC\perp CB$. Вместе с пунктом а) получаем, что все три плоских угла при вершине $C$ прямые:

$$\angle PCA=\angle PCB=\angle ACB=90^{\circ }.$$

Найдём ребро $PA$ из треугольника $PAB$ по теореме косинусов:

$$P{A}^2=P{B}^2+A{B}^2-2\cdot PB\cdot AB\cdot \cos \angle PBA=15^2+13^2-2\cdot 15\cdot 13\cdot \frac{48}{65}.$$

Так как $\frac{2\cdot 15\cdot 13}{65}=\frac{390}{65}=6$, последнее слагаемое равно $6\cdot 48=288$, и

$$P{A}^2=225+169-288=106.$$

Обозначим $CB=x$, $CA=y$, $PC=h$. Применим теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам $PCB$, $ACB$ и $PCA$:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+h^2=225,\\ x^2+y^2=169,\\ y^2+h^2=106.\end{array}$$

Сложим все три уравнения: $2\left(x^2+y^2+h^2\right)=500$, то есть $x^2+y^2+h^2=250$. Вычтем из этого равенства по очереди каждое уравнение системы:

$$y^2=250-225=25,h^2=250-169=81,x^2=250-106=144.$$

Длины положительны, поэтому $x=12$, $y=5$, $h=9$.

Основание пирамиды — прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $CA=5$ и $CB=12$, высота пирамиды $PC=9$. Объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot PC=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot CA\cdot CB\cdot PC=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12\cdot 9=90.$$

Ответ: б) $90$.