Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Точка M — середина… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2025 развёрнутое

Дана правильная треугольная призма $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ . Точка $M$ — середина ребра $C C_{1}$ . Через точки $A_{1}$ , $M$ и $B$ проведена плоскость $α$ .

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью $α$ является равнобедренный треугольник.

б) Найдите высоту призмы, если известно, что площадь сечения равна $6$ и $A B = 2$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сечение A₁BM

а) Построим сечение. Точки $A_{1}$ и $M$ лежат в одной грани $A A_{1} C_{1} C$ , точки $M$ и $B$ — в грани $B B_{1} C_{1} C$ , точки $A_{1}$ и $B$ — в грани $A A_{1} B_{1} B$ . Соединим их: отрезки $A_{1} M$ , $M B$ и $A_{1} B$ — это линии пересечения плоскости $α$ с этими гранями. Они образуют замкнутую ломаную, поэтому сечение призмы плоскостью $α$ — треугольник $A_{1} M B$ .

Призма правильная, значит, она прямая: боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований, а основания — равные правильные треугольники. Поэтому $C C_{1} ⊥ A_{1} C_{1}$ и $C C_{1} ⊥ B C$ , то есть треугольники $A_{1} C_{1} M$ и $B C M$ прямоугольные с прямыми углами при вершинах $C_{1}$ и $C$ .

Сравним их катеты: $C_{1} M = C M$ , так как $M$ — середина ребра $C C_{1}$ , и $A_{1} C_{1} = B C$ как стороны равных правильных треугольников. Значит, треугольники $A_{1} C_{1} M$ и $B C M$ равны по двум катетам, и их гипотенузы равны: $A_{1} M = M B$ .

У треугольника $A_{1} M B$ две стороны равны, то есть сечение — равнобедренный треугольник с основанием $A_{1} B$ . Что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

б) Пусть высота призмы равна $2 h$ , тогда $C M = C_{1} M = h$ . Стороны оснований равны $A B = A_{1} C_{1} = 2$ .

Найдём основание $A_{1} B$ . Грань $A A_{1} B_{1} B$ — прямоугольник, поэтому треугольник $A A_{1} B$ прямоугольный с прямым углом $A$ . По теореме Пифагора

$A_{1} B = A A_{1}^{2} + A B^{2} = 4 h^{2} + 4 = 2 h^{2} + 1 .$

Боковую сторону найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $A_{1} C_{1} M$ :

$A_{1} M = A_{1} C_{1}^{2} + C_{1} M^{2} = 4 + h^{2} .$

Рисунок к решению

Проведём в треугольнике $A_{1} M B$ высоту $M T$ к основанию $A_{1} B$ . В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, поэтому

$A_{1} T = T B = \frac{A _{1} B}{2} = h^{2} + 1 .$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $A_{1} M T$ :

$M T = A_{1} M^{2} - A_{1} T^{2} = h^{2} + 4 - (h^{2} + 1) = 3 .$

Заметим, что высота сечения не зависит от $h$ . Запишем площадь сечения:

$S_{A_{1} M B} = \frac{1}{2} \cdot A_{1} B \cdot M T = \frac{1}{2} \cdot 2 h^{2} + 1 \cdot 3 = 3 (h^{2} + 1) .$

По условию площадь равна 6:

$3 (h^{2} + 1) = 6 \Leftrightarrow 3 (h^{2} + 1) = 36 \Leftrightarrow h^{2} = 11.$

Так как $h > 0$ , то $h = 11$ , и высота призмы равна $2 h = 211$ .

Ответ: б) $211$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15