ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

Пусть $O$ — центр основания, $E$ — середина $AC$. Пирамида правильная, поэтому $SO\perp (ABC)$, а $O$ лежит на медиане $BE$ и делит её в отношении $BO:OE=2:1$.

а) Опустим перпендикуляр $KH$ на плоскость основания. Прямые $KH$ и $SO$ перпендикулярны одной плоскости, поэтому параллельны; значит, $KH$ лежит в плоскости $SBO$, и точка $H$ — на отрезке $BO$.

Треугольники $BKH$ и $BSO$ подобны ($KH\parallel SO$), и $\frac{BK}{BS}=\frac{3}{4}$. Поэтому

$$BH=\frac{3}{4}BO=\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}BE=\frac{1}{2}BE,$$

то есть $H$ — середина медианы $BE$.

Докажем, что середина $BE$ лежит на прямой $CM$. Имеем $AM=4$, $MB=6-4=2$. Пусть $P$ — середина $AM$, тогда $AP=PM=2$. В треугольнике $ACM$ отрезок $EP$ — средняя линия, поэтому $EP\parallel CM$.

В треугольнике $BPE$ точка $M$ — середина стороны $BP$ (так как $BM=MP=2$), а прямая $CM$ параллельна стороне $PE$. По теореме Фалеса она пересекает сторону $BE$ в её середине, то есть в точке $H$. Значит, $H\in CM$.

Точки $K$ и $H$ лежат в плоскости $CKM$, поэтому прямая $KH$, перпендикулярная плоскости $ABC$, лежит в плоскости $CKM$. По признаку перпендикулярности плоскостей $(CKM)\perp (ABC)$, что и требовалось доказать.

б) Радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной 6: $OB=OA=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$. Из прямоугольного треугольника $SOA$:

$$SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{21-12}=3.$$

Из подобия треугольников $BKH$ и $BSO$:

$$KH=\frac{3}{4}SO=\frac{9}{4}.$$

Основание пирамиды $BCKM$ — треугольник $BCM$ с $BM=2$, $BC=6$ и углом $60^{\circ }$ между ними:

$$S_{BCM}=\frac{1}{2}\cdot BM\cdot BC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Высота пирамиды $BCKM$, опущенная из вершины $K$, — это $KH$. Объём:

$$V_{BCKM}=\frac{1}{3}\cdot S_{BCM}\cdot KH=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{3}\cdot \frac{9}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}.$$

Ответ: б) $\frac{9\sqrt{3}}{4}$.