В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя развёрнутое

В основании правильной треугольной пирамиды $A B C D$ лежит треугольник $A B C$ со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка $T$ так, что $A T : T D = 2 : 1$ . Через точку Т параллельно прямым $A C$ и $B D$ проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Построим сечение. Если плоскость параллельна прямой, то любая плоскость, проходящая через эту прямую и пересекающая данную, пересекает её по прямой, параллельной этой прямой. Поэтому:

В грани $A C D$ (она содержит $A C$ ) проведём через $T$ прямую $T L ∥ A C$ , $L \in C D$ .
В грани $A B D$ (она содержит $B D$ ) проведём через $T$ прямую $T K ∥ B D$ , $K \in A B$ .
В грани $A B C$ (она содержит $A C$ ) проведём через $K$ прямую $K F ∥ A C$ , $F \in B C$ .

Четырёхугольник $T K F L$ — искомое сечение.

Сечение TKFL — прямоугольник

Плоскость $B C D$ содержит прямую $B D$ , параллельную плоскости сечения, и пересекает сечение по прямой $L F$ . Поэтому $L F ∥ B D$ . Итак, $T L ∥ A C ∥ K F$ и $T K ∥ B D ∥ L F$ : противоположные стороны четырёхугольника $T K F L$ параллельны, это параллелограмм.

Рисунок к решению

Докажем, что $A C ⊥ B D$ . Пусть $H$ — середина $A C$ . В правильной пирамиде боковые рёбра равны, поэтому треугольник $A D C$ равнобедренный и его медиана $D H$ — высота: $D H ⊥ A C$ . Треугольник $A B C$ правильный, поэтому $B H ⊥ A C$ . Прямая $A C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $D H$ и $B H$ плоскости $B D H$ , значит, $A C ⊥ (B D H)$ и $A C ⊥ B D$ .

Стороны $T L$ и $T K$ параллелограмма параллельны прямым $A C$ и $B D$ , поэтому угол между ними равен углу между $A C$ и $B D$ , то есть $9 0^{\circ}$ . Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник, что и требовалось доказать.

б) Треугольники $A T K$ и $A D B$ подобны (угол $A$ общий, $T K ∥ D B$ ), поэтому

$\frac{T K}{D B} = \frac{A K}{A B} = \frac{A T}{A D} = \frac{2}{3} \Rightarrow T K = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3}, B K = \frac{1}{3} A B .$

Рисунок к решению

Треугольники $B K F$ и $B A C$ подобны (угол $B$ общий, $K F ∥ A C$ ), поэтому

$\frac{K F}{A C} = \frac{B K}{B A} = \frac{1}{3} \Rightarrow K F = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2.$

Площадь прямоугольника $T K F L$ :

$S = T K \cdot K F = \frac{10}{3} \cdot 2 = \frac{20}{3} .$

Ответ: б) $\frac{20}{3}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15