B прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ на диагонали BD₁… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Параллелепипеды сложная 2022 развёрнутое

B прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ на диагонали $B D_{1}$ отмечена точка $N$ так, что $B N : N D_{1} = 1 : 2.$ Точка $O$ — середина отрезка $C B_{1} .$

a) Докажите, что прямая $N O$ проходит через точку $A .$

б) Найдите объём параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1},$ если длина отрезка $N O$ равна расстоянию между прямыми $B D_{1}$ и $C B_{1}$ и равна $2 .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Диагонали прямоугольника $B C C_{1} B_{1}$ делятся точкой пересечения пополам, поэтому $O$ — середина не только $C B_{1}$ , но и $B C_{1}$ .

Рассмотрим четырёхугольник $A B C_{1} D_{1}$ . Отрезки $A B$ и $D_{1} C_{1}$ равны и параллельны, поэтому это параллелограмм, а $A D_{1} ∥ B C_{1}$ и $A D_{1} = B C_{1}$ . Точка $O$ лежит на его стороне $B C_{1}$ , то есть в плоскости $A B C_{1} D_{1}$ .

Диагональ $B D_{1}$ делит параллелограмм на треугольники $A B D_{1}$ и $C_{1} B D_{1}$ . Точка $A$ — вершина первого, а точка $O$ лежит на стороне второго, поэтому отрезок $A O$ пересекает диагональ $B D_{1}$ в некоторой точке $N^{'}$ .

Треугольники $N^{'} B O$ и $N^{'} D_{1} A$ подобны: $∠ B N^{'} O = ∠ D_{1} N^{'} A$ как вертикальные, $∠ N^{'} B O = ∠ N^{'} D_{1} A$ как накрест лежащие при параллельных прямых $B C_{1}$ и $A D_{1}$ и секущей $B D_{1}$ . Коэффициент подобия

$\frac{B O}{D _{1} A} = \frac{\frac{1}{2} B C _{1}}{B C _{1}} = \frac{1}{2},$

поэтому $\frac{B N ^{'}}{N ^{'} D _{1}} = \frac{1}{2}$ . Значит, $N^{'}$ делит $B D_{1}$ в отношении $1 : 2$ , то есть совпадает с $N$ . Итак, точка $N$ лежит на отрезке $A O$ и прямая $N O$ проходит через точку $A$ , что и требовалось доказать.

Из того же подобия $\frac{N O}{N A} = \frac{1}{2}$ , то есть $A N = 2 N O$ .

б) Прямые $B D_{1}$ и $C B_{1}$ скрещиваются: прямая $C B_{1}$ пересекает плоскость $A B C_{1} D_{1}$ только в точке $O$ , а $O$ не лежит на $B D_{1}$ . Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра, а любой другой отрезок с концами на этих прямых длиннее. Отрезок $N O$ соединяет точки прямых $B D_{1}$ и $C B_{1}$ и равен расстоянию между ними, поэтому $N O$ — их общий перпендикуляр: $N O ⊥ B D_{1}$ и $N O ⊥ C B_{1}$ .

Ребро $A B$ перпендикулярно плоскости $B C C_{1} B_{1}$ (оно перпендикулярно $B C$ и $B B_{1}$ ), поэтому $A B ⊥ C B_{1}$ . Кроме того, $C B_{1} ⊥ N O$ , то есть $C B_{1} ⊥ A O$ . Прямая $C B_{1}$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A B$ и $A O$ плоскости $A B C_{1}$ , поэтому $C B_{1} ⊥ (A B C_{1})$ и, в частности, $C B_{1} ⊥ B C_{1}$ .

Диагонали прямоугольника $B C C_{1} B_{1}$ перпендикулярны, значит, это квадрат: $B C = B B_{1}$ .

По пункту а) $A N = 2 N O = 22$ , тогда $A O = A N + N O = 32$ .

Треугольник $A B O$ прямоугольный с прямым углом $B$ (так как $A B ⊥ (B C C_{1} B_{1})$ ). Отрезок $B N$ перпендикулярен $A O$ (так как $N O ⊥ B D_{1}$ ), то есть $B N$ — высота, проведённая к гипотенузе. Высота прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы:

$B N = A N \cdot N O = 22 \cdot 2 = 2.$

По теореме Пифагора в треугольниках $B N O$ и $A B O$ :

$B O = B N^{2} + N O^{2} = 4 + 2 = 6, A B = A O^{2} - B O^{2} = 18 - 6 = 23 .$

Диагональ квадрата $B C C_{1} B_{1}$ равна $B C_{1} = 2 B O = 26$ , поэтому его сторона

$B C = B B_{1} = \frac{2 6}{2} = 23 .$

Все три измерения параллелепипеда равны $23$ , то есть это куб. Его объём

$V = (23)^{3} = 8 \cdot 33 = 243 .$

Проверка: $B D_{1} = 23 \cdot 3 = 6 = 3 B N$ , что согласуется с $B N : N D_{1} = 1 : 2$ .

Ответ: б) $243$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15