Основанием пирамиды SABCD является ромб ABCD со стороной 6. Боковые… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2025 развёрнутое

Основанием пирамиды $S A B C D$ является ромб $A B C D$ со стороной $6$ . Боковые грани $S A B$ и $S C B$ перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой угол $15 0^{\circ}$ . Две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $6 0^{\circ}$ .

а) Докажите, что грани $S A D$ и $S C D$ равновеликие.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Грани $S A B$ и $S C B$ перпендикулярны плоскости основания и пересекаются по прямой $S B$ . Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то их линия пересечения перпендикулярна этой плоскости. Значит, $S B ⊥ (A B C)$ , и $S B$ — высота пирамиды.

Пирамида SABCD, SB — высота, SQ и ST — высоты граней

Проведём высоты ромба $B Q ⊥ A D$ и $B T ⊥ C D$ . Отрезок $B Q$ — проекция наклонной $S Q$ на плоскость основания, и $A D ⊥ B Q$ , поэтому по теореме о трёх перпендикулярах $S Q ⊥ A D$ . Значит, $∠ S QB$ — линейный угол двугранного угла при ребре $A D$ . Он острый (треугольник $S B Q$ прямоугольный), поэтому равен углу наклона грани $S A D$ к основанию: $∠ S QB = 6 0^{\circ}$ . Точно так же $S T ⊥ C D$ и $∠ S T B = 6 0^{\circ}$ .

Прямоугольные треугольники $S B Q$ и $S B T$ (прямые углы при вершине $B$ , так как $S B ⊥ (A B C)$ ) имеют общий катет $S B$ и равные острые углы $∠ S QB = ∠ S T B$ . Они равны по катету и острому углу, поэтому $S Q = S T$ .

Стороны ромба равны: $A D = C D$ . Тогда

$S_{S A D} = \frac{1}{2} \cdot A D \cdot S Q = \frac{1}{2} \cdot C D \cdot S T = S_{S C D},$

что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

б) Так как $S B ⊥ (A B C)$ , то $A B ⊥ S B$ и $C B ⊥ S B$ . Значит, $∠ A B C$ — линейный угол двугранного угла между гранями $S A B$ и $S C B$ с ребром $S B$ , и $∠ A B C = 15 0^{\circ}$ . Сумма соседних углов ромба равна $18 0^{\circ}$ , поэтому $∠ B A D = 3 0^{\circ}$ .

В треугольнике $A B D$ ( $A B = A D$ ) углы при вершинах $B$ и $D$ равны $\frac{18 0 ^{\circ} - 3 0 ^{\circ}}{2} = 7 5^{\circ}$ , они острые, поэтому основание $Q$ высоты лежит на стороне $A D$ . Из прямоугольного треугольника $A B Q$ :

$B Q = A B \cdot sin 3 0^{\circ} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3.$

Из прямоугольного треугольника $S B Q$ с углом $6 0^{\circ}$ :

$S B = B Q \cdot tg 6 0^{\circ} = 33, S Q = \frac{B Q}{cos 6 0 ^{\circ}} = 6.$

Найдём площади граней. Грани $S A B$ и $S C B$ — прямоугольные треугольники с катетами $S B$ и стороной ромба:

$S_{S A B} = S_{S C B} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 33 = 93 .$

Грани $S A D$ и $S C D$ равновелики (пункт а):

$S_{S A D} = S_{S C D} = \frac{1}{2} \cdot A D \cdot S Q = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18.$

Площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2 \cdot 93 + 2 \cdot 18 = 183 + 36.$

Ответ: б) $183 + 36$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15