В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через середину M… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Параллелепипеды средняя развёрнутое

В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ через середину $M$ диагонали $A C_{1}$ проведена плоскость $α$ перпендикулярно этой диагонали, $A B = 5$ , $B C = 3$ , $A A_{1} = 4$ .

а) Докажите, что плоскость $α$ содержит точку $D_{1}$ .

б) Найдите отношение, в котором плоскость $α$ делит ребро $A_{1} B_{1}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Плоскость $α$ перпендикулярна прямой $A C_{1}$ и проходит через $M$ , поэтому она содержит все прямые, проходящие через $M$ перпендикулярно $A C_{1}$ , и только их.

а) Достаточно доказать, что $D_{1} M ⊥ A C_{1}$ .

Сечение плоскостью α, перпендикулярной AC₁

Ребро $D D_{1}$ перпендикулярно основанию, поэтому треугольник $A D D_{1}$ прямоугольный и по теореме Пифагора

$A D_{1} = A D^{2} + D D_{1}^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 5.$

Кроме того, $D_{1} C_{1} = D C = A B = 5$ . Значит, треугольник $A D_{1} C_{1}$ равнобедренный с основанием $A C_{1}$ . Его медиана $D_{1} M$ является высотой: $D_{1} M ⊥ A C_{1}$ . Поэтому прямая $D_{1} M$ лежит в плоскости $α$ , и $D_{1} \in α$ , что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

б) Построим сечение. Диагонали прямоугольного параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам, поэтому $M$ — середина и диагонали $B D_{1}$ . Прямая $D_{1} M$ лежит в $α$ (пункт а) и проходит через $B$ , значит, $B \in α$ .

Найдём точку пересечения $α$ с прямой $A A_{1}$ . Для этого рассмотрим диагональное сечение $A A_{1} C_{1} C$ — прямоугольник.

Рисунок к решению

Проведём в плоскости $A A_{1} C_{1}$ через точку $M$ прямую, перпендикулярную $A C_{1}$ . Она лежит в $α$ ; пусть она пересекает прямую $A A_{1}$ в точке $K$ .

Найдём длины:

$A C_{1} = A B^{2} + B C^{2} + A A_{1}^{2} = 25 + 9 + 16 = 50 = 52, A M = \frac{5 2}{2} .$

Треугольник $A A_{1} C_{1}$ прямоугольный с прямым углом $A_{1}$ (так как $A A_{1} ⊥ A_{1} C_{1}$ ), поэтому

$cos ∠ A_{1} A C_{1} = \frac{A A _{1}}{A C _{1}} = \frac{4}{5 2} .$

Треугольник $A M K$ прямоугольный с прямым углом $M$ , и его угол при вершине $A$ тот же. Отсюда

$A K = \frac{A M}{cos ∠ M A K} = \frac{5 2}{2} \cdot \frac{5 2}{4} = \frac{50}{8} = \frac{25}{4} .$

Так как $A K = \frac{25}{4} > 4 = A A_{1}$ , точка $K$ лежит на продолжении ребра $A A_{1}$ за точку $A_{1}$ , и

$A_{1} K = \frac{25}{4} - 4 = \frac{9}{4} .$

Точки $K$ и $B$ лежат в $α$ и в плоскости грани $A A_{1} B_{1} B$ , поэтому $α$ пересекает эту плоскость по прямой $K B$ . Точка $K$ лежит выше ребра $A_{1} B_{1}$ , а $B$ — ниже, поэтому отрезок $K B$ пересекает ребро $A_{1} B_{1}$ в некоторой точке $R$ — это и есть точка пересечения $α$ с ребром $A_{1} B_{1}$ .

Рисунок к решению

Треугольники $K A_{1} R$ и $B B_{1} R$ прямоугольные (углы $A_{1}$ и $B_{1}$ грани $A A_{1} B_{1} B$ прямые), а углы при вершине $R$ равны как вертикальные. Значит, треугольники подобны и

$\frac{A _{1} R}{R B _{1}} = \frac{K A _{1}}{B B _{1}} = \frac{9/4}{4} = \frac{9}{16} .$

Проверим ответ. Тогда $A_{1} R = \frac{9}{25} \cdot 5 = \frac{9}{5}$ , $R B_{1} = \frac{16}{5}$ , и точка $R$ должна быть равноудалена от $A$ и $C_{1}$ (плоскость $α$ — серединный перпендикуляр к $A C_{1}$ ):

$R A^{2} = A_{1} R^{2} + A A_{1}^{2} = \frac{81}{25} + 16 = \frac{481}{25}, R C_{1}^{2} = R B_{1}^{2} + B_{1} C_{1}^{2} = \frac{256}{25} + 9 = \frac{481}{25} .$

Расстояния равны, ответ верный.

Ответ: б) $9 : 16$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15