ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Разбор — 3 балла

Пусть $h=A{A}_1=1,5$ — высота призмы. Боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны основаниям.

а) Плоскость $AMK$ пересекает параллельные плоскости $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ по прямым $AN$ и $MK$. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны, поэтому $MK\parallel AN$. Значит, $MK$ и $AN$ — основания трапеции $AMKN$, а $AM$ и $KN$ — боковые стороны.

Треугольники $M{B}_{1}K$ и $ABN$ имеют соответственно параллельные стороны: $M{B}_1\parallel AB$, $B_{1}K\parallel BN$, $MK\parallel AN$. Углы с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны, поэтому эти треугольники подобны:

$$\frac{MK}{AN}=\frac{M{B}_1}{AB}=\frac{B_{1}K}{BN}.$$

Так как $M{B}_1⩽A_1{B}_1=AB$, то $MK⩽AN$, а основания трапеции не равны. Значит, $MK=2$, $AN=5$ и

$$\frac{B_{1}K}{BN}=\frac{2}{5}\Rightarrow BN=\frac{5}{2}{B}_{1}K.$$

Из $B_{1}K:K{C}_1=1:4$ получаем $B_{1}K=\frac{1}{5}{B}_1{C}_1=\frac{1}{5}BC$. Тогда

$$BN=\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{5}BC=\frac{1}{2}BC,$$

то есть $N$ — середина ребра $BC$, что и требовалось доказать.

б) Объём призмы равен произведению площади основания на высоту, поэтому

$$S_{ABCD}=\frac{V}{h}=\frac{75}{1,5}=50.$$

Пусть $N_1$ — проекция точки $N$ на плоскость $A_1{B}_1{C}_1$. Отрезок $N{N}_1$ параллелен и равен боковому ребру, поэтому $BN{N}_1{B}_1$ — прямоугольник и $N_1$ — середина $B_1{C}_1$. Четырёхугольник $A{A}_1{N}_{1}N$ — параллелограмм ($A{A}_1$ и $N{N}_1$ равны и параллельны), значит, $A_1{N}_1\parallel AN$ и $A_1{N}_1=AN=5$. Кроме того, $MK\parallel AN\parallel A_1{N}_1$.

Найдём площадь треугольника $A_1{B}_1{N}_1$. Диагональ $A_1{C}_1$ делит параллелограмм $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ на два равных треугольника, а медиана $A_1{N}_1$ делит треугольник $A_1{B}_1{C}_1$ на два равновеликих. Поэтому

$$S_{A_1{B}_1{N}_1}=\frac{1}{4}{S}_{A_1{B}_1{C}_1{D}_1}=\frac{50}{4}=\frac{25}{2}.$$

Проведём в плоскости верхнего основания перпендикуляр $B_1{O}_1$ к прямой $A_1{N}_1$. Из формулы площади треугольника

$$B_1{O}_1=\frac{2S_{A_1{B}_1{N}_1}}{A_1{N}_1}=\frac{25}{5}=5.$$

Так как $MK\parallel A_1{N}_1$, перпендикуляр $B_1{O}_1$ пересекает $MK$ в некоторой точке $P$, и $B_{1}P\perp MK$. Треугольники $B_{1}MK$ и $B_1{A}_1{N}_1$ подобны с коэффициентом $\frac{MK}{A_1{N}_1}=\frac{2}{5}$, а $B_{1}P$ и $B_1{O}_1$ — их соответственные высоты. Поэтому

$$B_{1}P=\frac{2}{5}\cdot 5=2,P{O}_1=5-2=3.$$

Прямая $AN$ проектируется на верхнее основание в прямую $A_1{N}_1$, поэтому на $AN$ есть точка $O$, проекция которой — $O_1$: $O{O}_1\perp (A_1{B}_1{C}_1)$ и $O{O}_1=h=1,5$.

Отрезок $P{O}_1$ — проекция наклонной $PO$ на плоскость $A_1{B}_1{C}_1$, и $A_1{N}_1\perp P{O}_1$. По теореме о трёх перпендикулярах $A_1{N}_1\perp PO$. Прямые $AN$ и $MK$ параллельны $A_1{N}_1$, поэтому $PO\perp AN$ и $PO\perp MK$. Точки $P$ и $O$ лежат на основаниях трапеции, значит, $PO$ — её высота.

Из прямоугольного треугольника $PO{O}_1$:

$$PO=\sqrt{P{O}_1^2+O{O}_1^2}=\sqrt{9+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{45}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}.$$

Площадь трапеции:

$$S_{AMKN}=\frac{MK+AN}{2}\cdot PO=\frac{2+5}{2}\cdot \frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{21\sqrt{5}}{4}.$$

Заметим, что равенство боковых сторон трапеции в этом вычислении не понадобилось: расстояние от $B_1$ до $A_1{N}_1$ мы нашли через площадь треугольника $A_1{B}_1{N}_1$.

Ответ: б) $\frac{21\sqrt{5}}{4}$.