Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Конусы средняя развёрнутое

Различные точки $A$ , $B$ и $C$ лежат на окружности основания конуса с вершиной $S$ так, что отрезок $A B$ является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $6 0^{\circ}$ .

а) Докажите, что $cos ∠ A S C + cos ∠ B S C = 1, 5$ .

б) Найдите объём тетраэдра $S A B C$ , если $S C = 1$ , $cos ∠ A S C = \frac{2}{3}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Пусть $O$ — центр основания конуса, тогда $S O$ — высота конуса, $S O ⊥ (A B C)$ .

а) Отрезок $A B$ — диаметр, поэтому $O$ — его середина. Проекция образующей $S A$ на плоскость основания — радиус $O A$ , поэтому угол между образующей и основанием — это $∠ S A O = 6 0^{\circ}$ . Так же $∠ S B O = 6 0^{\circ}$ .

Конус и тетраэдр SABC

В треугольнике $S A B$ два угла равны $6 0^{\circ}$ , значит, и третий равен $6 0^{\circ}$ , и треугольник правильный. Обозначим длину образующей через $l$ : $S A = S B = S C = l$ (все они образующие) и $A B = l$ .

Рисунок к решению

По теореме косинусов в треугольнике $S A C$ :

$A C^{2} = S A^{2} + S C^{2} - 2 \cdot S A \cdot S C \cdot cos ∠ A S C \Rightarrow cos ∠ A S C = \frac{2 l ^{2} - A C ^{2}}{2 l ^{2}} .$

Аналогично в треугольнике $S B C$ :

$cos ∠ B S C = \frac{2 l ^{2} - B C ^{2}}{2 l ^{2}} .$

Сложим:

$cos ∠ A S C + cos ∠ B S C = \frac{4 l ^{2} - ( A C ^{2} + B C ^{2} )}{2 l ^{2}} .$

Точка $C$ лежит на окружности основания и отлична от $A$ и $B$ , поэтому вписанный угол $A C B$ , опирающийся на диаметр $A B$ , прямой. По теореме Пифагора $A C^{2} + B C^{2} = A B^{2} = l^{2}$ . Тогда

$cos ∠ A S C + cos ∠ B S C = \frac{4 l ^{2} - l ^{2}}{2 l ^{2}} = \frac{3}{2} = 1, 5,$

что и требовалось доказать.

б) Теперь $l = S C = 1$ . Из пункта а)

$cos ∠ B S C = \frac{3}{2} - cos ∠ A S C = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6} .$

По теореме косинусов в треугольниках $S A C$ и $S B C$ :

$A C^{2} = 1 + 1 - 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}, B C^{2} = 1 + 1 - 2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{3} .$

Проверка: $A C^{2} + B C^{2} = 1 = A B^{2}$ , как и должно быть.

Треугольник $A B C$ прямоугольный с прямым углом $C$ , поэтому

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C = \frac{1}{2} \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{6} .$

Рисунок к решению

Высота тетраэдра $S A B C$ , опущенная из вершины $S$ , — это высота конуса $S O$ . Она же — высота правильного треугольника $S A B$ со стороной 1:

$S O = \frac{3}{2} .$

Объём тетраэдра:

$V_{S A B C} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot S O = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{36} .$

Ответ: б) $\frac{6}{36}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — конусы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15