ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

Обозначим секущую плоскость через $\alpha$.

а) Плоскость $SAC$ проходит через прямую $SA$, параллельную плоскости $\alpha$, и пересекает $\alpha$ (точки $O$ и $M$ общие). Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой. Значит, $OM\parallel SA$.

Точка $O$ — центр квадрата, то есть середина диагонали $AC$. В треугольнике $SAC$ прямая $OM$ проходит через середину стороны $AC$ параллельно $SA$, поэтому по теореме Фалеса $M$ — середина $SC$ ($OM$ — средняя линия), что и требовалось доказать.

б) Плоскость $SAD$ тоже проходит через прямую $SA$, параллельную $\alpha$, и имеет с $\alpha$ общую точку $N$. Поэтому $\alpha$ пересекает грань $SAD$ по прямой, проходящей через $N$ параллельно $SA$. Пусть она пересекает ребро $AD$ в точке $E$, тогда $NE\parallel SA$.

В треугольнике $SAD$ по теореме о пропорциональных отрезках

$$\frac{DE}{EA}=\frac{DN}{NS}=\frac{3}{1},$$

а так как $AD=4$, то $DE=3$, $AE=1$.

Точки $E$ и $O$ лежат в плоскости $\alpha$ и в плоскости основания. Прямая $EO$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Треугольники $AOE$ и $COK$ равны по стороне и двум прилежащим углам: $AO=OC$, $\angle AOE=\angle COK$ как вертикальные, $\angle OAE=\angle OCK$ как накрест лежащие при $AD\parallel BC$ и секущей $AC$. Поэтому $CK=AE=1$.

Точки $M$ и $K$ лежат и в плоскости $\alpha$, и в грани $SBC$, поэтому $\alpha$ пересекает грань $SBC$ по отрезку $MK$.

Все рёбра пирамиды равны 4, поэтому грань $SBC$ — правильный треугольник и $\angle SCB=60^{\circ }$. Точка $M$ — середина $SC$, значит, $CM=2$. По теореме косинусов в треугольнике $MCK$:

$$M{K}^2=C{M}^2+C{K}^2-2\cdot CM\cdot CK\cdot \cos 60^{\circ }=4+1-2\cdot 2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=3,$$

откуда $MK=\sqrt{3}$.

Ответ: б) $\sqrt{3}$.