ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) В прямоугольнике $ABCD$ имеем $CD=AB=5$ и $AB\parallel CD$. На диагонали $BD=9$ отложено $BE=4$, поэтому $ED=9-4=5$.

Продлим отрезок $CE$ за точку $E$ до пересечения с прямой $AB$ в точке $G$. Точки $C$ и $G$ лежат по разные стороны от прямой $BD$, поэтому $G$ лежит на луче $BA$ (точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от диагонали $BD$).

Треугольники $GBE$ и $CDE$ подобны: $\angle GEB=\angle CED$ как вертикальные, $\angle GBE=\angle CDE$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$. Отсюда

$$\frac{GB}{CD}=\frac{BE}{ED}=\frac{4}{5}\Rightarrow GB=\frac{4}{5}\cdot 5=4.$$

Так как $GB=4<AB=5$, точка $G$ лежит на отрезке $AB$ и $AG=1$.

На ребре $AS$ имеем $AF=AS-SF=5-4=1$. Тогда

$$\frac{AG}{AB}=\frac{1}{5}=\frac{AF}{AS}.$$

Треугольники $AGF$ и $ABS$ имеют общий угол $A$, а прилежащие к нему стороны пропорциональны, поэтому они подобны. Значит, $\angle AGF=\angle ABS$, и это соответственные углы при прямых $GF$, $BS$ и секущей $AB$. Следовательно, $GF\parallel SB$.

Точка $G$ лежит на прямой $CE$, а значит, в плоскости $CEF$; точка $F$ тоже лежит в этой плоскости. Поэтому прямая $GF$ лежит в плоскости $CEF$.

Прямая $SB$ в плоскости $CEF$ не лежит: иначе эта плоскость содержала бы точки $B$ и $G$, то есть прямую $AB$, и точку $C$, а значит, совпадала бы с плоскостью основания, в которой нет точки $F$. Прямая $SB$ параллельна прямой $GF$ плоскости $CEF$, по признаку параллельности прямой и плоскости $SB\parallel (CEF)$, что и требовалось доказать.

б) Плоскость $SBD$ проходит через прямую $SB$, параллельную плоскости $CEF$, и имеет с плоскостью $CEF$ общую точку $E$. Поэтому эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через $E$ параллельно $SB$. Она пересекает ребро $SD$ в точке $Q$, и $EQ\parallel SB$.

В треугольнике $SBD$ прямая $EQ$ параллельна стороне $SB$. По теореме о пропорциональных отрезках

$$\frac{DQ}{DS}=\frac{DE}{DB}=\frac{5}{9}.$$

Пусть $SO$ — высота пирамиды. Все боковые рёбра равны, а равные наклонные, проведённые из одной точки, имеют равные проекции: $OA=OB=OC=OD$. Значит, $O$ — центр окружности, описанной около прямоугольника, то есть точка пересечения его диагоналей, и $OD=\frac{BD}{2}=\frac{9}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $SOD$:

$$SO=\sqrt{S{D}^2-O{D}^2}=\sqrt{25-\frac{81}{4}}=\sqrt{\frac{19}{4}}=\frac{\sqrt{19}}{2}.$$

Опустим перпендикуляр $Q{Q}_1$ на плоскость основания. Прямые $Q{Q}_1$ и $SO$ перпендикулярны одной плоскости, поэтому параллельны, и точка $Q_1$ лежит на отрезке $OD$. Треугольники $DQ{Q}_1$ и $DSO$ подобны, поэтому

$$Q{Q}_1=SO\cdot \frac{DQ}{DS}=\frac{\sqrt{19}}{2}\cdot \frac{5}{9}=\frac{5\sqrt{19}}{18}.$$

Длина перпендикуляра $Q{Q}_1$ и есть расстояние от точки $Q$ до плоскости $ABC$.

Ответ: б) $\frac{5\sqrt{19}}{18}$.